수학1_수열의 극한_극한의 활용_난이도 상

그림과 같이 한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형 \(\rm A\) 와 한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형 \(\rm B\) 는 변이 서로 평행하고, \(\rm A\) 의 두 대각선의 교점과 \(\rm B\) 의 두 대각선의 교점이 일치하도록 놓여 있다. \(\rm A\) 와 \(\rm A\) 의 내부에서 \(\rm B\) 의 내부를 제외한 영역을 \(\rm R\) 라 하자. \(2\) 이상인 자연수 \(n\) 에 대하여 한 변의 길이가 \(\dfrac{1}{n}\) 인 작은 정사각형을 다음 규칙에 따라 \(\rm R\) 에 그린다.

 

(가) 작은 정사각형의 한 변은 \(\rm A\) 의 한 변에 평행하다.
(나) 작은 정사각형들의 내부는 서로 겹치지 않도록 한다. 

 이와 같은 규칙에 따라 \(\rm R\) 에 그릴 수 있는 한 변의 길이가 \(\dfrac{1}{n}\) 인 작은 정사각형의 최대 개수를 \(a_n\) 이라 하자. 예를 들어, \(a_2 =12,\;\; a_3 = 20\) 이다. \(\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{a_{2n+1} - a_{2n}}{a_{2n} - a_{2n-1}} = c\) 라 할 때, \(100c\) 의 값을 구하시오. 

정답 50