수학1_수열의 극한_극한의 활용_난이도 상

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형 $\rm A$ 와 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $\rm B$ 는 변이 서로 평행하고, $\rm A$ 의 두 대각선의 교점과 $\rm B$ 의 두 대각선의 교점이 일치하도록 놓여 있다. $\rm A$ 와 $\rm A$ 의 내부에서 $\rm B$ 의 내부를 제외한 영역을 $\rm R$ 라 하자. $2$ 이상인 자연수 $n$ 에 대하여 한 변의 길이가 $\dfrac{1}{n}$ 인 작은 정사각형을 다음 규칙에 따라 $\rm R$ 에 그린다.

 

(가) 작은 정사각형의 한 변은 $\rm A$ 의 한 변에 평행하다.
(나) 작은 정사각형들의 내부는 서로 겹치지 않도록 한다. 

 이와 같은 규칙에 따라 $\rm R$ 에 그릴 수 있는 한 변의 길이가 $\dfrac{1}{n}$ 인 작은 정사각형의 최대 개수를 $a_n$ 이라 하자. 예를 들어, $a_2 =12,\;\; a_3 = 20$ 이다. $\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{a_{2n+1} - a_{2n}}{a_{2n} - a_{2n-1}} = c$ 라 할 때, $100c$ 의 값을 구하시오. 

정답 50