수학1_수열의 극한_극한의 활용_난이도 상

자연수 $n$ 에 대하여 좌표평면 위의 세 점 ${\rm A}_n (x_n ,\;0),\;\;{\rm B}_n (0,\; x_n ),\;\;{\rm C}_n (x_n ,\; x_n )$ 을 꼭짓점으로 하는 직각이등변삼각형 $T_n$ 을 다음 조건에 따라 그린다. 

(가) $x_1 =1$ 이다.
(나) 변 ${\rm A}_{n+1} {\rm B}_{n+1}$ 의 중점이 ${\rm C}_n$ 이다. $(n=1,\;2,\;3,\;\cdots )$ 

 

삼각형 $T_n$ 의 넓이를 $a_n$, 삼각형 $T_n$ 의 세 변 위에 있는 점 중에서 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 $b_n$ 이라 할 때, $\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{2^n b_n}{a_n +2^n}$ 의 값을 구하시오.

정답 12