수악중독

좌표평면에서 $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 두 곡선 $y=3^x-n$, $y=\log_3(x+n)$ 으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 자연수인 점의 개수가 $4$ 가 되도록 하는 자연수 $n$ 의 개수를 구하시오. 정답 $16$

자연수 \(a, \; b\) 에 대하여 곡선 \(y=a^{x+1}\) 과 곡선 \(y=b^x\) 이 직선 \(x=t\;\;(t \ge 1)\) 와 만나는 점을 각각 \(\rm P, \; Q\) 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 \(a, \;b\) 의 순서쌍 \((a,\;b)\) 의 개수를 구하시오. 예를 들어, \(a=4,\; b=5\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(2 \le a \le 10,\;\; 2\le b \le 10\) (나) \(t \ge 1\) 인 어떤 실수 \(t\) 에 대하여 \(\overline {\rm PQ} \le 10\) 이다. 정답 39

두 곡선 $y=2^x, \; y=-4^{x-2}$ 이 $y$ 축과 평행한 한 직선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, \;B$ 라 하자. $\overline{\rm OA}= \overline{\rm OB} $ 일 때, 삼각형 $\rm AOB$ 의 넓이는? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $64$ ② $68$ ③ $72$ ④ $76$ ⑤ $80$ 정답 ①

두 함수 \(f(x)=2^x-\left [ 2^x \right ] \) 와 \(g(x)=2^{x-k}\) 그래프의 교점의 개수가 \(3\) 이 되도록 하는 \(k\) 값의 범위가 \(\alpha < k \leq \beta\) 일 때, \(2^{\alpha+\beta}\) 의 값을 구하시오. (단, \([x]\) 는 \(x\) 를 넘지 않는 최대 정수이다.) 정답 \(20\)

지수함수 \(f(x)=a^{x-m}\) 의 그래프와 그 역함수의 그래프가 두 점에서 만나고, 두 교점의 \(x\) 좌표가 \(1\) 과 \(3\) 일 때, \(a+m\) 의 값은? ① \(2-\sqrt{3}\) ② \(2\) ③ \(1+\sqrt{3}\) ④ \(3\) ⑤ \(2+\sqrt{3}\) 정답 ③

지수함수 \(f(x)=3^{-x}\) 에 대하여 \[a_1=f(2), \;\; a_{n+1}=f(a_n)\;\;(n=1,\;2,\;3)\] 일 때, \(a_2, \;a_3,\;a_4\) 의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? ① \(a_2

원점 \(\rm O\) 에서 함수 \(f(x)=4^x\) 위의 한 점 \(\rm P\) 를 잇는 선분 \(\rm OP\) 가 있다. 함수 \(g(x)=2^x\) 의 그래프가 선분 \(\rm OP\) 를 \(1:3\) 으로 내분할 때, 점 \(\rm P\) 의 \(x\) 좌표는? ① \(\dfrac{4}{7}\) ② \(\dfrac{5}{7}\) ③ \(\dfrac{6}{7}\) ④ \(1\) ⑤ \(\dfrac{8}{7}\) 정답 ⑤

두 함수 \(f(x)=\dfrac{a^x+a^{-x}}{2},\;\; g(x)=a^{|x|}\) 에 대한 설명으로 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(a>1\)) ㄱ. 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프는 \(y\) 축에 대하여 대칭이다. ㄴ. 임의의 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x)-g(x) \leq 0\) 이다. ㄷ. \(c>1\) 일 때, 방정식 \(f(x)=c\) 의 한 실근을 \(\alpha\), 방정식 \(g(x)=c\) 의 한 실근을 \(\beta\) 라 하면 \(|\alpha| > |\beta|\) 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(-2 \leq x \leq 0\) 일 때, \(f(x)= |x+1|-1\) (나) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x)+f(-x)=0\) (다) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(2-x)=f(2+x)\) \(-10 \leq x \leq 10\) 에서 \(y=f(x)\) 의 그래프와 \(y= \left (\dfrac{1}{2} \right )^x\) 의 그래프의 교점의 개수는? ① \(2\) ② \(3\) ③ \(4\) ④ \(5\) ⑤ \(6\) 정답 ⑤

두 지수함수 \(f(x)=a^x\;(a>1),\;\; g(x)=b^x\;(0