수악중독

좌표공간에 구 $x^2 +y^2 + z^2 =6$ 이 평면 $x+2z-5=0$ 과 만나서 생기는 원 $C$ 가 있다. 원 $C$ 위의 점 중 $y$ 좌표가 최소인 점을 $\rm P$ 라 하고, 점 $\rm P$ 에서 $xy$ 평면에 내린 수선의 발을 $\rm Q$ 라 하자. 원 $C$ 위를 움직이는 점 $\rm X$ 에 대하여 $\left | \overrightarrow{\rm PX} + \overrightarrow{\rm QX} \right |^2$ 의 최댓값은 $a+b\sqrt{30}$ 이다. $10(a+b)$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$ 는 유리수이다.) 정답 $136$

좌표공간에 원 $C\; :\; x^2+y^2=3, \; z=1$ 과 구 $S\; : \; (x-6)^2 +(y-8)^2 + (z-1)^2 = 9$ 가 있고, 원점 $\rm O$ 와 원 $C$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OP}$ 를 법선벡터로 하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 원 $C$ 의 중심 $\rm A$ 와 구 $S$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 선분 $\rm AQ$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 길이의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값을 구하시오. 정답 $15$

구 $S\; : \; x^2+y^2+z^2=24$ 와 평면 $\alpha \; : \; x+2y-2z=12$ 가 만나서 생기는 원을 $C_1$ 이라 할 때, 원점 $\rm O$ 를 포함하는 평면 $\beta$ 가 구 $S$ 와 만나서 생기는 원 $C_2$ 가 원 $C_1$ 과 오직 한 점 $\rm A$ 에서 만난다고 하자. 원 $C_1$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 평면 $\beta$ 위로의 정사영을 $\rm H$ 라 할 때, $\left | \overrightarrow{\rm OA} \right |^2 - \left | \overrightarrow{\rm OH} \right |^2 + 2 \overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm AH}$ 의 최댓값..

다음 그림과 같이 직사각뿔 $\rm A-BCDE$ 에서 밑면은 $\overline{\rm BC}=8$, $\overline{\rm BE}=6$ 인 직사각형이고, $\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=\overline{\rm AD}=\overline{\rm AE}=13$ 이다. 삼각형 $\rm ABE$ 를 포함하는 평면과 선분 $\rm AC$ 가 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라고 할 때, $\sin \theta = \dfrac{q}{p}\sqrt{10}$ 이라고 한다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $77$그림에서처럼 점 $\rm B$ 를 원점으로 하는 3차원 좌표축을 생각하자. 점 $\rm A$ 에서 $xy$ 평..

구 $x^2+y^2+(z-1)^2=1$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 가 있다. 점 $\rm P$ 와 평면 $2x-y+2z-7=0$ 사이의 거리의 최댓값을 $d$ 라 할 때, $60d$ 의 값을 구하시오. 정답 $160$

좌표공간에 구 \(S\; :\; (x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=12\) 와 평면 \(\alpha \; : \; x+y+z=3\) 가 있다. 평면 \(\alpha\) 위의 직선 \(l\) 에 대하여 \(\rm O\) 와 직선 \(l\) 사이의 거리는 \(2\) 이다. \(l\) 과 구 \(S\) 가 만나는 두 점을 각각 \(\rm A, \;B\) 라 할 때, 삼각형 \(\rm OAB\) 의 넓이는? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(3\sqrt{2}\) ② \(3\sqrt{3}\) ③ \(4\) ④ \(4\sqrt{2}\) ⑤ \(4\sqrt{3}\) 정답 ④

좌표공간에서 구 \(S : x^2+y^2+z^2=4\) 와 평면 \(\alpha : y-\sqrt{3}z=2\) 가 만나서 생기는 원을 \(C\) 라 하자. 원 \(C\) 위의 점 \(\rm A(0, \;2,\;0)\) 에 대하여 원 \(C\) 의 지름의 양 끝점 \(\rm P\), \(\rm Q\) 를 \(\overline{\rm AP}=\overline{\rm AQ}\) 가 되도록 잡고, 점 \(\rm P\) 를 지나고 평면 \(\alpha\) 에 수직인 직선이 구 \(S\) 와 만나는 또 다른 점을 \(\rm R\) 이라 하자. 삼각형 \(\rm ARQ\) 의 넓이를 \(s\)라 할 때, \(s^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(15\)

\(x\) 축을 교선으로 갖는 두 평면이 구 \((x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=4\) 위의 두 점 \(\rm A,\;B\) 에서 접한다. 구의 중심을 \(\rm C,\; \triangle CAB\) 의 넓이를 \(S\) 라 할 때, \(10S\) 의 값을 구하시오. 정답 \(16\) 위의 풀이를 보시면 아시겠지만 이 문제는 yz 평면에 정사영 시켜서 풀어도 됩니다. 즉, y축과 z축으로 이루어진 2차원 평면위에서 생각해도 삼각형 ABC 의 넓이에는 변화가 없음을 이용하는 것이지요. 이렇게 생각한다면 다음과 같은 풀이도 가능하게 됩니다.

공간 위에 \( \overline{\rm AB}=\sqrt{5} ,\; \overline{\rm BC}=\sqrt{10} ,\; \overline{\rm CA} = \sqrt{13}\) 를 만족하는 세 점 \(\rm A,\;B,\;C\) 가 있다. 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 구를 \(S_1\), 선분 \(\rm BC\) 를 지름으로 하는 구를 \(S_2 \), 선분 \(\rm CA\) 를 지름으로 하는 구를 \(S_3\) 라고 할 때, \(S_1 ,\; S_2 ,\; S_3\) 의 교점으로부터 평면 \(\rm ABC\) 까지의 거리가 \(\dfrac{q}{p}\) (단, \(p, \;q\) 는 서로소인 정수) 라고 한다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. 정답 \(13\)

좌표공간에서 구 \[S:\;(x-1)^2 +(y-1)^2 +(z-1)^2 =4\] 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 가 있다. 점 \(\rm P\) 에서 구 \(S\) 에 접하는 평면이 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =16\) 과 만나서 생기는 도형의 넓이의 최댓값은 \(\left ( a+b \sqrt{3} \right ) \pi \) 이다. \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b\) 는 자연수이다.) 정답 13