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목록수열 (53)
수악중독
음이 아닌 정수 \(n\) 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점의 좌표를 \({\rm P}(a_n , \; b_n)\) 이라 하자. (ㄱ) \(a_0=1, \; b_0 =0\) (ㄴ) 점 \({\rm P}(a_{n+1},\; b_{n+1})\) 은 점 \({\rm P}(a_n ,\; b_n)\) 에서 원 \(x^2+y^2=1\) 의 호를 따라 시계 반대 방향으로 \(\dfrac{\pi}{18}\) 만큼 이동한 것이다. 이때, \(a_n =b_n\) 을 만족시키는 \(n\) 은 (가), 그리고 \(c_k = a_{18k} \; (k=1, \;2,\;3,\;\cdots)\) 라 하면 수열 \(\{c_k\}\) 는 공비가 (나)인 등비수열이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 것은? ① 존재하지 않는다. \(-..
\(0\) 이 아닌 세 실수 \(\alpha, \;\beta,\; \gamma\) 가 이 순서대로 등차수열을 이룬다. \(x^\frac{1}{\alpha} = y^{-\frac{1}{\beta}} = z^\frac{2}{\gamma} \) 일 때, \(16xz^2 + 9y^2\) 의 최솟값을 구하시오. (단, \(x,\;y,\;z\) 는 \(1\) 이 아닌 양수이다.) 정답 \(24\)
수열 \(\{ a_n \}\) 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(a_2 =a_{49} =24\) (나) \(a_{n+2}+a_{n}=a_{n+1}+2n\) 이때, \(\sum \limits_{n=1}^{50} a_n\) 의 값은? ① \(2400\) ② \(2420\) ③ \(2440\) ④ \(2460\) ⑤ \(2480\) 정답 ①
수열 \( \{ a_n \} \) 을 \[ a_1 = 1 , \; a_2 = 2 , \; a_{n+2} = a_{n+1} + \dfrac{a_n}{n+1} \] 으로 정의할 때, 다음은 수열 \( \{ a_n \} \) 의 일반항을 구하는 과정이다. \( b_n = \dfrac{a_n}{n+1} \) 이라 놓으면 \( a_n = (n+1) b_n \) 이므로 \( (n+3) b_{n+2} = ( \;(가)\; ) b_{n+1} + b_n \) \( (n+3) ( b_{n+2} - b_{n+1} ) = - (b_{n+1} - b_n ) \cdots \cdots \) (★) 식 (★) 에 \( n=1 , \; 2 , \; \cdots , \; m-1 \; (m \geq 2 ) \) 를 대입하면 \( 4 (b..
\( n \) 이 자연수일 때, 집합 \( A_n = \{ 1 , \; 2 , \; 3 , \; \cdots , \; n \} \) 에서 집합 \( A_n \) 으로의 함수 \( f \) 중에서 합성함수 \( f \circ f \) 가 항등함수인 \( f \) 의 개수를 \( a_n \) 이라 하자. 다음은 수열 \( \{ a_n \} \) 의 연속한 세 항 사이의 점화식을 구하는 과정이다. 집합 \( A_{n+2} \) 에서 집합 \( A_{n+2} \) 로의 함수 중에서 \( f \circ f \)가 항등함수인 함수 \( f \) 는 다음과 같이 두 가지 경우로 나눌 수 있다. (i) \( f(n+2)=n+2 \) 일 때, 집합 \( A_{n+1} \) 에서 집합 \( A_{n+1} \) 으로의 함수..
\( 2 \) 이상의 짝수에 대하여 곡선 \( y = \dfrac{1}{2^{n-1}} x^n \) 과 직선 \( y=x \) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 \( S_n \) 이라 할 때, \( S_2 \times S_4 \times S_6 \times \cdots \times S_{14} \) 의 값을 기약분수로 나타내면 \( \dfrac{q}{p} \) 이다. 이때, \( p+q \) 의 값을 구하시오. 정답 143
다음과 같이 \( 1 , \; 3 , \; 5 , \; 7 , \; 9 \) 를 규칙적으로 나열했을 때, 제 \( 20 \) 행에 나열된 수들의 합을 구하시오. 제\(1\)행 \(1\) 제\(2\)행 \(3\) \(5\) \(7\) 제\(3\)행 \(9\) \(1\) \(3\) \(5 \) \(7 \) 제\(4\)행 \(9\) \(1\) \(3\) \(5\) \(7\) \(9\) \(1\) \(\vdots\) \(\vdots\) 정답 \(199\)
첫째항이 \(1\), 공차가 \(3\) 인 등차수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 부등식 \[\left | x- a_n \right | \ge \left | x-a_{n+1} \right | \;(n \ge 1)\] 을 만족시키는 \(x\) 의 최솟값을 \(b_n\) 이라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(b_1 = \dfrac{a_1 +a_2}{2}\) ㄴ. 수열 \(\{a_n\}\) 은 공차가 \(\dfrac{3}{2}\) 인 등차수열이다. ㄷ. \(\sum \limits_{n=1}^{10} b_n =160\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
좌표평면 위의 점 \({\rm A}_n \;(n=1,\;2,\;3,\; \cdots)\) 을 다음 규칙에 따라 정할 때, 삼각형 \(\rm A_1 A_{17} A_{34}\) 의 넓이는? (가) 점 \(\rm A_1\) 의 좌표는 \((1,\;1)\) 이다. (나) 점 \({\rm A}_{4n-3}\) 을 \(x\) 축의 양의 방향, \(y\) 축의 양의 방향으로 각각 \(4n-3\) 만큼 평행이동한 점은 \({\rm A}_{4n-2}\) 이다. (다) 점 \({\rm A}_{4n-2}\) 를 \(x\) 축의 음의 방향, \(y\) 축의 양의 방향으로 각각 \(4n-2\) 만큼 평행이동한 점은 \({\rm A}_{4n-1}\) 이다. (라) 점 \({\rm A}_{4n-1}\) 을 \(x\) 축의 음의 ..
수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 =10\) 이고, \[a_{n+1}=a_1 + \dfrac{1}{2} a_2 + \dfrac{1}{3} a_3 + \cdots + \dfrac{1}{n} a_n \;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다. \(n\ge 2\) 인 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_{n+1} - a_n =\left ( a_1 + \dfrac{1}{2}a_2 + \dfrac{1}{3}a_3 + \cdots + \dfrac{1}{n}a_n\right ) \) \(- \left ( a_1 + \dfrac{1}{2}a_2 + \dfrac{1}{3}a_3 + \cdots + \dfrac{1}{n-1}a_{n-1}\ri..