수악중독

그림과 같이 두 점 \(\rm P, \;Q\) 는 각각 \((2, \;0), \;(0, \;-1)\) 에서 동시에 출발하여 점 \(\rm P\) 는 매초 \(3\) 의 속도로 \(x\) 축의 양의 방향으로 움직이고, 점 \(\rm Q\) 는 매초 \(1\) 의 속도로 \(y\) 축의 양의 방향으로 움직이고 있다. 출발할 지 \(t\) 초 후의 위치를 각각 \(\rm P',\;Q'\) 라 하고 \(\triangle \rm OP'Q'\) 의 넓이는 \(S(t)\) 라 하자. \(\displaystyle \int_{0}^{2} S(t) dt = \dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p^2+q^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, \;q\) 는 소로소인 자연수이다.) 정답 \(29\)

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 \(\rm P, \;Q\) 의 시각 \(t \;(0 \leq t \leq 8)\) 에서의 속도가 각각 \(2t^2-8t,\;\; t^3-10t^2+24t\) 이다. 두 점 \(\rm P, \;Q\) 사이의 거리의 최댓값을 구하시오. 정답 \(64\)

수직선 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 의 시각 \(t\) 에서의 위치를 \(f(t)\) 라 할 때, 미분가능한 함수 \(y=f(t)\) 는 다음 조건을 모두 만족시킨다. (가) \(f(0)=\dfrac{3}{2}, \; f(1)=1,\;f(3)=4\) (나) \(0

원점에서 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 무레 \(\rm A,\; B\) 의 시각 \(t\) 에서의 속도는 각각 \(2t^2 -23t +48 ,\;\; -t^2 +7t\) 이다. \(0 \leq t \leq 10\) 일 때, 두 물체 \(\rm A\) 와 \(\rm B\) 사이의 거리의 최댓값을 구하시오. 정답 64

그림은 최고 속도 \( 300 {\rm km/h} \) 인 \( A \) 역과 \( B \) 역을 운행하는 특급열차 일등급호의 속도를 측정하여 나타낸 그래프이다. \( A \) 역과 \( B \) 역 사이의 거리가 \( 250 \rm km \) 이고 일등급호의 속도 그래프의 특징이 다음과 같다고 할 때, 두 역간의 운행시간을 구하면? (가) 가속구간과 감속구간은 각각 전체 운행시간의 \( \dfrac{1}{3} , \; \dfrac{1}{6} \) 이다. (나) 가속과 감속할 때의 속도 그래프는 포물선이다. (다) 속도 그래프는 전 구간에서 미분가능하다. ① \( 30\) 분 ② \( 1\) 시간 ③ \( 1\) 시간 \(20\)분 ④ \(1\)시간 \(30\)분 ⑤ \(2\)시간 정답 ② 보충설명

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \( \rm P \) 의 시각 \( t \;\; ( 0 \leq t \leq 5 ) \) 에서의 속도 \( v(t) \) 가 다음과 같다. \[ v(t) = \left \{ \begin{array}{11} 4t & ( 0 \leq t < 1 ) \\ -2t+6 & (1 \leq t < 3) \\ t-3 & (3 \leq t \leq 5 ) \end{array} \right. \] \(0

수직선 위의 원점에서 두 점 \( \rm{ A , \; B } \) 가 동시에 같은 방향으로 출발하였다. 출발한 지 \( t \) 초 후 두 점 \( \rm A , \; B \) 의 속도를 각각 \( v_{\rm{A}}(t) , \; v_{\rm{B}}(t) \) 라고 할 때, \[ v_{\rm{A}}(t)=t(a-t)(2a-t)\;(a>0)\] \[ v_{\rm{B}}(t)= b-2t \; (b \geq 0 ) \] 이다 다음 보기의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \( a=1 \) 이면 \( \rm A , \; B \) 는 출발 후 한 번 만난다. ㄴ. \( a=2 \) 일 때, \( \rm A , \; B \) 가 출발 후 세 번 만나기 위한 \(b\)의 값의 범위는 \( \dfr..

반지름의 길이가 \(2 \rm cm\)인 반구형의 그릇에 매초 \(\dfrac{\pi}{5}\) \( \rm cm^3\)의 비율로 물을 넣을 때, 바닥에서 수면까지의 높이가 \(1 \rm cm\)가 되는 순간에 수면의 높이의 증가율은? ① \(\dfrac{1}{15} \) ② \( \dfrac{2}{15} \) ③ \( \dfrac{1}{5} \) ④ \( \dfrac{4}{15} \) ⑤ \( \dfrac{1}{3} \) 이 문제는 미적분과 통계기본의 교육과정에 포함되지는 않지만, 충분히 응용하여 풀 수 있는 문제입니다. 정답 ①

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 의 시각 \(t\) 에서의 위치가 \(f(t)=2t^3 -9t^2 +12t\) 일 때, 다음 중 출발할 때의 운동 방향과 반대 방향으로 점 \(\rm P\) 가 움직인 거리를 나타내는 것은? ① \(f(1)-f(2)\) ② \(f(2)-f(1)\) ③ \(f(1)\) ④ \(f(2)\) ⑤ \(f(1)+f(2)\) 정답 ①

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 \(\rm P,\;Q\) 의 시각 \(t\) 에서의 속도가 각각 \(v_P (t)=1-2t,\; v_Q (t) = 3t^2 -1\) 일 때, \(\overline {\rm PQ}\) 의 중점 \(\rm M\) 이 다시 원점을 지날 때까지 점 \(M\) 이 움직인 거리는? ① \(\dfrac{1}{27}\) ② \(\dfrac{2}{27}\) ③ \(\dfrac{1}{9}\) ④ \(\dfrac{4}{27}\) ⑤ \(\dfrac{5}{27}\) 정답 ④