수악중독

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x)>0$(나) $\ln f(x) + 2 \displaystyle \int_0^x (x-t)f(t)dt = 0$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $x>0$ 에서 함수 $f(x)$ 는 감소한다.ㄴ. 함수 $f(x)$ 의 최댓값은 $1$ 이다.ㄷ. 함수 $F(x)$ 를 $F(x) = \displaystyle \int_0^x f(t) dt$ 라 할 때, $f(1)+ \{ F(1) \} ^2 =1$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(-1)$ 의 값은? (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $2 \{f(x)\}^2f'(x)=\{f(2x+1)\}^2f'(2x+1)$ 이다.(나) $f \left ( - \dfrac{1}{8} \right ) = 1, \;\; f(6)=2$ ① $ \dfrac{\sqrt[3]{3}}{6}$ ② $ \dfrac{\sqrt[3]{3}}{3}$ ③ $ \dfrac{\sqrt[3]{3}}{2}$ ④ $ \dfrac{2\sqrt[3]{3}}{3}$ ⑤ $ \dfrac{5\sqrt[3]{3}}{6}$ 정답 ④

최고차항의 계수가 $6\pi$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)=\dfrac{1}{2+\sin(f(x))}$ 이 $x=\alpha$ 에서 극대 또는 극소이고, $\alpha \ge 0$ 인 모든 $\alpha$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \alpha_3, \; \alpha_4, \; \alpha_5, \; \cdots$ 라 할 때, $g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\alpha_1 = 0$ 이고 $g(\alpha_1) = \dfrac{2}{5}$ 이다. (나) $\dfrac{1}{g(\alpha_5)} = \dfrac{1}{g(\alpha_2)} + \dfrac{1}{2}$ $g' \left ( -\dfrac{..

양의 실수 전체의 집합에서 감소하고 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 양의 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)>0$ 이다.(나) 임의의 양의 실수 $t$ 에 대하여 세 점 $(0, \; 0)$, $(t, \; f(t))$, $(t+1, \; f(t+1))$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 $\dfrac{t+1}{t}$ 이다. (다) $\displaystyle \int_1^2 \dfrac{f(x)}{x}\; dx = 2$ $\displaystyle \int_{\frac{7}{2}}^{\frac{11}{2}} \dfrac{f(x)}{x} \; dx = \dfrac{q}{p}$ 라 할 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답..

$\dfrac{3}{5}

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $f(x)$ 는 $x=0$ 에서 극댓값, $x=k$ 에서 극솟값을 갖는다. (단 $k$ 는 상수)(나) $1$ 보다 큰 모든 실수 $t$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^t \left | f'(x) \right | \; dx = f(t)+f(0)$ 이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\displaystyle \int_0^k f'(x) \; dx < 0$ㄴ. $0

$f(0)=0$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 도함수 $y=f'(x)$ 의 그래프가 그림과 같다.실수 $k$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\left \{ \begin{array}{cc} (x-k)+f(k) & (x \le k) \\ f(x) & (x>k) \end{array}\right .$$ 라 하자. $x\le k$ 에서 두 함수 $y=f(x)$ , $y=g(x)$ 의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 $h(k)$ 라 할 때, $\sum \limits_{k=1}^7 h(k)$ 의 값은? (단, $f'(0)=1, \; f'(1)=f'(3)=0$) ① $10$ ② $11$ ③ $12$ ④ $13$ ⑤ $14$ 정답 ⑤

$x>0$ 에서 정의된 미분가능한 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $xf'(x)-g(x)=0, \;\; f(x)-xg'(x)=0$(나) $f(x) > |g(x)|$(다) $f(1)=3, \;\; g(1)=2$ 함수 $h(x)$ 를 $h(x)=\{f(x)\}^2+\{g(x)\}^2$ 이라 하면, 함수 $h(x)$ 는 $x=\alpha$ 에서 최솟값 $m$ 을 갖는다. $(\alpha m)^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $5$

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x \ge 2$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)>0$, $f(x)= \sqrt{2}e^2 + \displaystyle \int_2^x \dfrac{2 \left (t^2-t \right) e^{2t}}{f(t)} dt$ 이다.(나) $x

열린 구간 $\left ( 0, \; \dfrac{\pi}{2} \right )$ 에서 정의된 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 이 구간에 속하는 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x)>0$(나) $f(x)=2\sqrt{f(x)}\sin x - \displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^x \dfrac{f'(t) \sin t}{\sqrt{f(t)}} dt$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f \left (\dfrac{\pi}{6} \right ) =1 $ㄴ. $\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} = \cos x$ㄷ. $f \left (\dfrac{\pi}{3} \right ) = \dfrac{2+ \sqrt{3}}{2}$ ① ..