수악중독

함수 \(f(x)=x^3 +k \left | x-1 \right | \) 이 모든 실수 \(x\) 에서 증가하도록 상수 \(k\) 의 값을 정할 때, 정수 \(k\) 의 개수는? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ④

곡선 \(y=x^3 -3x\) 위의 원점이 아닌 한 점 \(\rm P\) 에서의 접선을 \(l_1\) 이라 하자. 직선 \(l_1\) 과 곡선 \(y=x^3 -3x\) 의 교점 중에서 점 \(\rm P\) 가 아닌 점을 \(\rm Q\) 라 할 때, 점 \(\rm Q\) 에서의 접선을 \(l_2\) 라 하자. 두 직선 \(l_1 , \; l_2\) 의 기울기를 각각 \(m_1 , \; m_2\) 라 할 때, \(m_1 \geq 1\) 이면 \(m_2 \geq \alpha\) 이다. 이때, \(\alpha\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(13\)

좌표평면 위에 점 \({\rm A}(0,\;2)\) 가 있다. \(0

한 변의 길이가 \(6\) 인 정사면체 \(\rm A-BCD\) 의 변 \(\rm AB,\; AC, \; AD\) 위에 꼭짓점 \(\rm A\) 로부터 같은 거리에 있는 점 \(\rm P, \; Q, \;R\) 을 잡아 면 \(\rm BCD\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm P',\; Q',\;R'\) 이라 하자. 삼각기둥 \(\rm PQR-P'Q'R'\) 의 부피의 최댓값을 \(V\) 라고 할 때, \(V^2\) 의 값을 구하시오.정답 128

그림과 같이 편평한 바닥에 \(60^{\circ}\) 로 기울어진 경사면과 반지름의 길이가 \(0.5 \rm m\) 인 공이 있다. 이 공의 중심은 경사면과 바닥이 만나는 점에서 바닥에 수직으로 높이가 \(21 \rm m\) 인 위치에 있다. 이 공을 자유낙하 시킬 때, \(t\) 초 후 공의 중심의 높이 \(h(t)\) 는 \(h(t)=21-5t^2 (\rm m)\) 라고 한다. 공이 경사면과 처음으로 충돌하는 순간, 공의 속도는? (단, 경사며면의 두께와 공기의 저항은 무시한다.) ① \(-20 \rm m\)/초 ② \(-17 \rm m\)/초 ③ \(-15 \rm m\)/초 ④ \(-12 \rm m\)/초 ⑤ \(-10 \rm m\)/초 정답 ①

다음은 '가' 지점에서 출발하여 '나' 지점에 도착할 때까지 직선 경로를 따라 이동한 세 자동차 \(\rm A,\;B,\;C\) 의 시간 \(t\) 에 따른 속도 \(v\) 를 각각 나타낸 그래프이다. '가' 지점에서 출발하여 '나' 지점에 도착할 때까지의 상황에 대한 다음 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(\rm A\) 와 \(\rm C\) 의 평균속도는 같다. ㄴ. \(\rm B\) 와 \(\rm C\) 모두 가속도가 \(0\) 인 순간이 적어도 한 번 존재한다. ㄷ. \(\rm A,\;B,\;C\) 각각의 속도 그래프와 \(t\) 축으로 둘러싸인 영역의 넓이는 모두 같다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

\(x\) 에 대한 삼차방정식 \(\dfrac{1}{3} x^3 - x=k\) 가 서로 다른 세 실근 \(\alpha,\; \beta,\; \gamma\) 를 가진다. 실수 \(k\) 에 대하여 \(\left | \alpha \right | + \left | \beta \right | + \left | \gamma \right |\) 의 최솟값을 \(m\) 이라 할 때, \(m^2\) 의 값을 구하시오. 정답 12

\(1\le x \le 4\) 에서 두 함수 \(y=x^3 -6x^2 +1\) 과 \(y=ax+b\) 의 그래프가 접할 때, \(a-b\) 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. 정답 10