수악중독

좌표공간에 구 $x^2 +y^2 + z^2 =6$ 이 평면 $x+2z-5=0$ 과 만나서 생기는 원 $C$ 가 있다. 원 $C$ 위의 점 중 $y$ 좌표가 최소인 점을 $\rm P$ 라 하고, 점 $\rm P$ 에서 $xy$ 평면에 내린 수선의 발을 $\rm Q$ 라 하자. 원 $C$ 위를 움직이는 점 $\rm X$ 에 대하여 $\left | \overrightarrow{\rm PX} + \overrightarrow{\rm QX} \right |^2$ 의 최댓값은 $a+b\sqrt{30}$ 이다. $10(a+b)$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$ 는 유리수이다.) 정답 $136$

공간좌표의 정의와 표현 두 점 사이의 거리, 내분점과 외분점 구의 방정식 관련 예제 구와 구의 교선을 지나는 또 다른 구_난이도 하 구의 방정식_난이도 중 구의 방정식_난이도 중 구의 방정식_난이도 중 구의 방정식_난이도 중 아폴로니오스의 구_난이도 중 구의 방정식_난이도 중 구의 방정식_난이도 중 평면에 접하는 구_난이도 상 세 평면에 접하는 구의 방정식_난이도 상 구의 방정식_난이도 상 이전 다음

좌표공간에 구 \(S\; :\; (x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=12\) 와 평면 \(\alpha \; : \; x+y+z=3\) 가 있다. 평면 \(\alpha\) 위의 직선 \(l\) 에 대하여 \(\rm O\) 와 직선 \(l\) 사이의 거리는 \(2\) 이다. \(l\) 과 구 \(S\) 가 만나는 두 점을 각각 \(\rm A, \;B\) 라 할 때, 삼각형 \(\rm OAB\) 의 넓이는? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(3\sqrt{2}\) ② \(3\sqrt{3}\) ③ \(4\) ④ \(4\sqrt{2}\) ⑤ \(4\sqrt{3}\) 정답 ④

좌표공간에서 평면 \(\alpha \;:\; ax+y+bz+c=0\) 이 두 구 \[S_1 \;:\; (x-1)^2+(y-1)^2+(z+1)^2=13\] \[ S_2 \; : \; (x+1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=6\] 와 만날 때, \(\alpha\) 와 \(S_1\) 이 만나서 생기는 원을 \(C_1\) 이라 하고, \(\alpha\) 와 \(S_2\) 가 만나서 생기는 원을 \(C_2\) 라 하자. \(C_1\) 의 반지름이 \(3\) 이고, \(C_1 .\;C_2\) 의 중심이 서로 일치할 때, \(a^2+b^2+c^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b,\;c\) 는 상수이다.) 정답 \(17\)

좌표공간에서 구 \(S : x^2+y^2+z^2=4\) 와 평면 \(\alpha : y-\sqrt{3}z=2\) 가 만나서 생기는 원을 \(C\) 라 하자. 원 \(C\) 위의 점 \(\rm A(0, \;2,\;0)\) 에 대하여 원 \(C\) 의 지름의 양 끝점 \(\rm P\), \(\rm Q\) 를 \(\overline{\rm AP}=\overline{\rm AQ}\) 가 되도록 잡고, 점 \(\rm P\) 를 지나고 평면 \(\alpha\) 에 수직인 직선이 구 \(S\) 와 만나는 또 다른 점을 \(\rm R\) 이라 하자. 삼각형 \(\rm ARQ\) 의 넓이를 \(s\)라 할 때, \(s^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(15\)

다음 조건을 만족하는 점 \(\rm P\) 전체의 집합이 나타내는 도형의 둘레의 길이는? 좌표공간에서 점 \(\rm P\) 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(2\) 인 구가 두 개의 구 \[ x^2+y^2+z^2=1\] \[(x-2)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=4\] 에 동시에 외접한다. ① \(\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\pi\) ② \(\sqrt{5}\pi\) ③ \(\dfrac{5\sqrt{5}}{3}\pi\) ④ \(2\sqrt{5}\pi\) ⑤ \(\dfrac{8\sqrt{5}}{3}\pi\) 정답 ⑤

좌표공간에서 구 \(S\;:\;(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=4\) 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 가 있다. 점 \(\rm P\) 에서 구 \(S\) 에 접하는 평면이 구 \(x^2+y^2+z^2=16\) 과 만나서 생기는 도형의 넓이의 최댓값은 \(\left ( a+b\sqrt{3} \right ) \pi\) 이다. \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a, \;b\) 는 자연수이다.) 정답 \(13\) \(\therefore a+b=13\)

\(x\) 축을 교선으로 갖는 두 평면이 구 \((x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=4\) 위의 두 점 \(\rm A,\;B\) 에서 접한다. 구의 중심을 \(\rm C,\; \triangle CAB\) 의 넓이를 \(S\) 라 할 때, \(10S\) 의 값을 구하시오. 정답 \(16\) 위의 풀이를 보시면 아시겠지만 이 문제는 yz 평면에 정사영 시켜서 풀어도 됩니다. 즉, y축과 z축으로 이루어진 2차원 평면위에서 생각해도 삼각형 ABC 의 넓이에는 변화가 없음을 이용하는 것이지요. 이렇게 생각한다면 다음과 같은 풀이도 가능하게 됩니다.

좌표공간에 두 구 \[(x-1)^2+(y-a)^2+(z-\sqrt{3})^2=4,\;\;x^2+(y-2)^2+z^2=4\] 가 있다. 두 구가 만날 때 생기는 두 구 내분의 공통영역의 부피 \(V\) 의 최댓값은? ① \(\dfrac{7}{3}\pi\) ② \(\dfrac{8}{3}\pi\) ③ \(3\pi\) ④ \(\dfrac{10}{3}\pi\) ⑤ \(\dfrac{11}{3}\pi\) 정답 ④

좌표공간에서 원점을 지나는 구 \(S\) 와 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =1\) 이 만나서 생기는 교선은 반지름의 길이가 \(\dfrac{1}{2}\) 인 원이 된다. 구 \(S\) 의 중심이 나타내는 도형 전체의 겉넓이는? ① \(\dfrac{2}{3}\pi\) ② \(\dfrac{5}{6}\pi\) ③ \(\pi\) ④ \(\dfrac{7}{6}\pi\) ⑤ \(\dfrac{4}{3}\pi\) 정답 ⑤