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수악중독
다항함수 \(g(x)\) 에 대하여 극한값 \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{g(x)-2x}{x-1}\) 가 존재한다. 다항함수 \(f(x)\) 가 \(f(x)+x-1=(x-1)g(x)\) 를 만족시킬 때, \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)g(x)}{x^2-1}\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ①
함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{\dfrac{{a\sqrt {x + 2} + b}}{{x - 2}}}&{\left( {x \ne 2} \right)}\\2&{\left( {x = 2} \right)}\end{array}} \right.\) 가 \(x=2\) 에서 연속일 때, 두 상수 \(a, \;b\) 에 대하여 \(2a-b\) 의 값을 구하시오. 정답 \(32\)
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=-f(x)\) 이다. (나) \(\lim \limits_{x \to -1} \dfrac{f(x)-2}{x+1}\) 와 \(\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)-3}{x-2}\) 의 값이 모두 존재한다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 방정식 \(f(x)=0\) 은 열린 구간 \((1, \;2)\) 에서 적어도 \(1\) 개의 실근을 갖는다. ㄴ. 방정식 \(\log \{f(x)\}^2 = \log f(x)\) 는 열린 구간 \((-1, \;2)\) 에서 적어도 \(2\) 개의 실근을 갖는다. ㄷ. 방정식 \(4^{ \{f(x) \}..
\(x>0\) 에서 정의된 함수 \[f(x)= \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^n+[x]^{n-1}}{[x]^n+x^{n-1}}\]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ㄱ. \(f \left (\dfrac{1}{2} \right ) = \dfrac{1}{2}\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to 2} f(x)=2\) ㄷ. 함수 \(f(x)\) 가 \(x=k\) 에서 연속이 되도록 하는 자연수 \(k\) 는 \(1\) 개이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
두 함수 \(f(x)=xe^{-x+a}\) 와 \(g(x)=-x+b\) 에 대하여 함수 \(y=|f(x)-g(x)|\) 가 모든 실수 \(x\) 에서 미분가능하도록 상수 \(a, \;b\) 의 값을 정하 때, \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x}=0\) 이다.) 정답 \(6\)
자연수 \(n\) 에 대하여 포물선 \(y^2=\dfrac{x}{n}\) 의 초점 \(\rm F\) 를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 하자. \(\overline{\rm PF}+1\) 이고 \(\overline{\rm FQ}=a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{10} \dfrac{1}{a_n}\) 의 값은? ① \(210\) ② \(205\) ③ \(200\) ④ \(195\) ⑤ \(190\) 정답 ①
포물선 \(y^2=4x\) 의 초점을 \(\rm F\), 준선이 \(x\) 축과 만나는 점을 \(\rm P\), 점 \(\rm P\) 를 지나고 기울기가 양수인 직선 \(l\) 이 포물선과 만나는 두 점을 각각 \(\rm A, \;B\) 라 하자. \(\overline{\rm FA}:\overline{\rm FB}=1:2\) 일 때, 직선 \(l\) 의 기울기는? ① \(\dfrac{2\sqrt{6}}{7}\) ② \(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) ③ \(\dfrac{4}{5}\) ④ \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ⑤ \(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\) 정답 ⑤
아래와 같이 가로의 길이가 \(6\) 이고 세로의 길이가 \(8\) 인 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 직사각형 가로 길이의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자. 그림 \(R_1\) 에서 직사각형의 각 꼭짓점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 대각선으로 하는 \(4\) 개의 직사각형을 그린 후, 새로 그려진 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 새로 그려진 직사각형 가로 길이의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 \(R_2\) 라 하자. 그림 \(R_2\) 에 있는 합동인 \(4\) 개의 직사각형 각각에서 각 꼭짓점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 ..
아래 그림과 같이 원점 \(\rm O\) 와 점 \(\rm A_1 (0.\;8)\) 을 이은 선분 \(\rm OA_1\) 을 반지름으로 하고 중심각의 크기가 \(\theta\) 인 부채꼴 \(\rm OA_1 B_1\) 을 그린다. 점 \(\rm B_1\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm A_2\) 라 하고, 반지름이 선분 \(\rm OA_2\) 이고 중심각의 크기가 \(\theta\) 인 부채꼴 \(\rm OA_2B_2\) 를 그린다. 점 \(\rm B_2\) 에서 \(y\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm A_3\) 이라 하고, 반지름이 선분 \(\rm OA_3\) 이고 중심각의 크기가 \(\theta\) 인 부채꼴 \(\rm OA_3B_3\) 을 그린다. 이와 같이 시계 방향으로 ..