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목록미적분 - 문제풀이 (226)
수악중독
그림과 같이 $\overline{\rm A_1B_1}=1$, $\overline{\rm B_1C_1}=2\sqrt{6}$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 이 있다. 중심이 $\rm B_1$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원이 선분 $\rm B_1C_1$ 과 만나는 점을 $\rm E_1$ 이라 하고, 중심이 $\rm D_1$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원이 선분 $\rm A_1B_1$ 과 만나는 점을 $\rm F_1$ 이라 하자. 선분 $\rm B_1D_1$ 이 호 $\rm A_1E_1$, 호 $\rm C_1F_1$ 과 만나는 점을 각각 $\rm B_2$, $\rm D_2$ 라 하고, 두 선분 $\rm B_1B_2$, $\rm D_1D_2$ 의 중점을 각각 $\rm G_1$, $\rm..
$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^n \sqrt{1+\dfrac{3k}{n}}$ 의 값은? ① $\dfrac{4}{3}$ ② $\dfrac{13}{9}$ ③ $\dfrac{14}{9}$ ④ $\dfrac{5}{3}$ ⑤ $\dfrac{16}{9}$ 더보기 정답 ③
등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n+1}{3^n+2^{2n-1}}=3$ 일 때, $a_2$ 의 값은? ① $16$ ② $18$ ③ $20$ ④ $22$ ⑤ $24$ 더보기 정답 ⑤
그림과 같이 곡선 $y=\sqrt{\sec^2 x \tan x} \; \left (0 \le x \le \dfrac{\pi}{3} \right )$ 와 $x$ 축, $y$ 축 및 직선 $x=\dfrac{\pi}{3}$ 로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? ① $\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ln 2}{2}$ ② $\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \ln 2$ ③ $\sqrt{3}+\dfrac{\ln 2}{2}$ ④ $\sqrt{3}+\ln 2$ ⑤ $\sqrt{3}+2 \ln 2$ 더보기 정답 ④
그림과 같이 중심이 $\rm O$, 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OA_1B_1$ 이 있다. 호 $\rm A_1B_1$ 위에 점 $\rm P_1$, 선분 $\rm OA_1$ 위에 점 $\rm C_1$, 선분 $\rm OB_1$ 위에 점 $\rm D_1$ 을 사각형 $\rm OC_1P_1D_1$ 이 $\overline{\rm OC_1}:\overline{\rm OD_1}=3:4$ 인 직사각형이 되도록 잡는다. 부채꼴 $\rm OA_1B_1$ 의 내부에 점 $\rm Q_1$ 을 $\overline{\rm P_1Q_1} = \overline{\rm A_1Q_1}$, $\angle \rm P_1Q_1A_1 = \dfrac{\pi}{2}$ 가 되도록..
그림과 같이 중심이 $\rm O$ 이고 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원 위에 $\angle {\rm AOC}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 점 $\rm C$ 가 있다. 호 $\rm BC$ 위에 점 $\rm P$ 와 호 $\rm CA$ 위에 점 $\rm Q$ 를 $\overline{\rm PB}=\overline{\rm QC}$ 가 되도록 잡고, 선분 $\rm AP$ 위에 점 $\rm R$ 를 $\angle {\rm CQR}=\dfrac{\pi}{2}$ 가 되도록 잡는다. 선분 $\rm AP$ 와 선분 $\rm CO$ 의 교점을 $\rm S$ 라 하자. $\angle {\rm PAB}=\theta$ 일 때, 삼각형 $\rm POB$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 사각형 ..
세 상수 $a, \; b, \; c$ 에 대하여 함수 $f(x)=ae^{2x}+be^x+c$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)+6}{e^x}=1$ (나) $f(\ln 2)=0$ 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, $\displaystyle \int_0^{14} g(x) dx = p+q \ln 2$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 유리수이고, $\ln 2$ 는 무리수이다.) 더보기 정답 $26$
최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=e^{\sin \pi x}-1$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함성합수 $h(x)=g(f(x))$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $h(x)$ 는 $x=0$ 에서 극댓값 $0$ 을 갖는다. (나) 열린구간 $(0, \; 3)$ 에서 방정식 $h(x)=1$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $7$ 이다. $f(3)=\dfrac{1}{2}$, $f'(3)=0$ 일 때, $f(2)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $31$
닫힌구간 $[0, \; 4\pi]$ 에서 연속이고 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 $f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^{4\pi} |f(x)|dx$ 의 최솟값은? (가) $0 \le x \le \pi$ 일 때, $f(x)=1-\cos x$ 이다. (나) $1 \le n \le 3$ 인 각각의 자연수 $n$ 에 대하여 $$f(n\pi+t)=f(n\pi)+f(t) \quad (0
그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 $\rm AB$ 의 중점을 $\rm O$ 라 하고 호 $\rm AB$ 위에 두 점 $\rm P, \; Q$ 를 $$\angle {\rm BOP}=\theta, \quad \angle {\rm BOQ}=2\theta$$ 가 되도록 잡는다. 점 $\rm Q$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 에 평행한 직선이 호 $\rm AB$ 와 만나는 점 중 $\rm Q$ 가 아닌 점을 $\rm R$ 라 하고, 선분 $\rm BR$ 가 두 선분 $\rm OP, \; OQ$ 와 만나는 점을 각각 $\rm S, \; T$ 라 하자. 세 선분 $\rm AO, \; OT, \; TR$ 와 호 $\rm RA$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(..