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목록미적분 - 문제풀이/적분법 (63)
수악중독
함수 $f(x)= \pi \sin 2\pi x$ 에 대하여 정의역이 실수 전체의 집합이고, 치역이 집합 $\{0, \; 1\}$ 인 함수 $g(x)$ 와 자연수 $n$ 이 다음 조건을 만족시킬 때, $n$ 의 값은? 함수 $h(x)=f(nx)g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이고 $$\displaystyle \int_{-1}^1 h(x)dx =2, \;\;\; \int_{-1}^1 xh(x) dx = -\dfrac{1}{32}$$ 이다. ① $8$ ② $10$ ③ $12$ ④ $14$ ⑤ $16$ 더보기 정답 ⑤
$x \ge -3$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 $$f(x) =\begin{cases} 2x & (-3 \le x
함수 $f(x)=\cos x $ 에 대하여 $\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{k\pi}{n^2} f \left ( \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{k \pi}{n} \right )$ 의 값은? ① $-\dfrac{5}{2}$ ② $-2$ ③ $-\dfrac{3}{2}$ ④ $-1$ ⑤ $-\dfrac{1}{2}$ 더보기 정답 ④
실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 $f(x)$ 에 대하여 $f(0)=0, f(2)=1$ 이다. 그림과 같이 $0 \le x \le 2$ 에서 곡선 $y=f(x)$ 와 $x$ 축 및 직선 $x=2$ 로 둘러싸인 두 부분의 넓이를 각각 $A, \; B$ 라 하자. $A=B$ 일 때, $\displaystyle \int_0^2 (2x+3) f'(x) dx$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $7$
최고차항의 계수가 $k\; (k>0)$ 인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 $f(0)=f(-2), \; f(0) \ne 0$ 이다. 함수 $g(x)=(ax+b) e^{f(x)} \; (a
두 함수 $f(x)=xe^{x^2}, \; g(x)=\sin \sqrt{x}$ 에 대하여 $\displaystyle \int_{\frac{\pi^2}{4}}^{\pi ^2} \left ( f' \circ g \right )(x) g(x) g'(x) dx$ 의 값은? ① $-\dfrac{e+3}{2}$ ② $-\dfrac{e+1}{2}$ ③ $\dfrac{e+1}{2}$ ④ $\dfrac{e+3}{2}$ ⑤ $\dfrac{e+5}{2}$ 더보기 정답 ②
두 함수 $$f(x) = \dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}, \; \; g(x) = \dfrac{x^2-x+1}{x^2+1}$$ 이 있다. 양의 실수 $t$ 에 대하여 두 곡선 $y=f(x), \; \; y=g(x)$ 와 직선 $x=t$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S(t)$ 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 점 $\rm P$ 의 $x$ 좌표를 $h(t)$ 라 하자. (가) 점 $\rm P$ 는 $x$ 축 위에 있고, $x $ 좌표는 양수이다. (나) 점 $\rm P$ 를 지나고 $x$ 축에 수직인 직선과 곡선 $y=\{f(x)-g(x)\} \ln \left (x^2 +1 \right ) $ 및 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $S(t)$ 이다. 양수 $\alpha $ 가 $h(\alpha..
실수 전체의 집합에서 연속인 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x) \ge g(x)$ (나) $f(x)+g(x) = x^2 +3x$ (다) $f(x)g(x)= \left (x^2+1 \right ) (3x-1)$ $\displaystyle \int_0^2 f(x) dx$ 의 값은? ① $\dfrac{23}{6}$ ② $\dfrac{13}{3}$ ③ $\dfrac{29}{6}$ ④ $ \dfrac{16}{3}$ ⑤ $\dfrac{35}{6}$ 더보기 정답 ③
함수 $ f(x) = \sin \left ( \pi \sqrt{x} \right )$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\displaystyle \int_0^x t f(x-t) dt \;\;\; (x \ge 0)$$ 이 $x=a$ 에서 극대인 모든 $a$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$ 번째 수를 $a_n$ 이라 하자. $k^2