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목록미적분 - 문제풀이/적분법 (63)
수악중독
$\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{k}{(2n-k)^2}$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{2}-2\ln 2$ ② $1-\ln2$ ③ $\dfrac{3}{2}-\ln 3$ ④ $\ln 2$ ⑤ $2- \ln 3$ 더보기 정답 ②
$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^n \sqrt{1+\dfrac{3k}{n}}$ 의 값은? ① $\dfrac{4}{3}$ ② $\dfrac{13}{9}$ ③ $\dfrac{14}{9}$ ④ $\dfrac{5}{3}$ ⑤ $\dfrac{16}{9}$ 더보기 정답 ③
그림과 같이 곡선 $y=\sqrt{\sec^2 x \tan x} \; \left (0 \le x \le \dfrac{\pi}{3} \right )$ 와 $x$ 축, $y$ 축 및 직선 $x=\dfrac{\pi}{3}$ 로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? ① $\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ln 2}{2}$ ② $\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \ln 2$ ③ $\sqrt{3}+\dfrac{\ln 2}{2}$ ④ $\sqrt{3}+\ln 2$ ⑤ $\sqrt{3}+2 \ln 2$ 더보기 정답 ④
세 상수 $a, \; b, \; c$ 에 대하여 함수 $f(x)=ae^{2x}+be^x+c$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)+6}{e^x}=1$ (나) $f(\ln 2)=0$ 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, $\displaystyle \int_0^{14} g(x) dx = p+q \ln 2$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 유리수이고, $\ln 2$ 는 무리수이다.) 더보기 정답 $26$
최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=e^{\sin \pi x}-1$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함성합수 $h(x)=g(f(x))$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $h(x)$ 는 $x=0$ 에서 극댓값 $0$ 을 갖는다. (나) 열린구간 $(0, \; 3)$ 에서 방정식 $h(x)=1$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $7$ 이다. $f(3)=\dfrac{1}{2}$, $f'(3)=0$ 일 때, $f(2)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $31$
닫힌구간 $[0, \; 4\pi]$ 에서 연속이고 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 $f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^{4\pi} |f(x)|dx$ 의 최솟값은? (가) $0 \le x \le \pi$ 일 때, $f(x)=1-\cos x$ 이다. (나) $1 \le n \le 3$ 인 각각의 자연수 $n$ 에 대하여 $$f(n\pi+t)=f(n\pi)+f(t) \quad (0
최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$g(x)=\ln \{f(x)+f'(x)+1\}$$ 이 있다. 상수 $a$ 와 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x)>0$이고 $\displaystyle \int_{2a}^{3a+x}g(t)dt = \int_{3a-x}^{2a+2} g(t)dt$이다. (나) $g(4)=\ln 5$ $\displaystyle \int_3^5 \{f'(x)+2a\}g(x)dx = m+n \ln 2$ 일 때, $m+n$ 의 값을 구하시오. (단, $m, \; n$ 은 정수이고, $\ln 2$ 는 무리수이다.) 더보기 정답 $12$
사차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(2)$ 의 값은? (가) $f(0)=2$ 이고, $f'(4)=-24$ 이다. (나) 부등식 $xf'(x)>0$ 을 만족시키는 모든 실수 $x$ 의 값의 범위는 $1
최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 $g(x) \ge 0$ 인 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x \le -3$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge f(-3)$ 이다. (나) $x>-3$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x+3) \{f(x)-f(0) \}^2 = f'(x)$ 이다. $\displaystyle \int_4^5 g(x)dx = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $283$