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목록미적분 - 문제풀이/적분법 (63)
수악중독
실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(-x)=f(x)$ (나) $f(x+2)=f(x)$ $\displaystyle \int_{-1}^5 f(x)(x+\cos2\pi x )dx = \dfrac{47}{2}, \; \int_0^1 f(x)dx = 2$ 일 때, $\displaystyle \int_0^1 f'(x) \sin 2\pi x dx$ 의 값은? ① $\dfrac{\pi}{6}$ ② $\dfrac{\pi}{4}$ ③ $\dfrac{\pi}{3}$ ④ $\dfrac{5}{12}\pi$ ⑤ $\dfrac{\pi}{2}$ 더보기 정답 ①
양수 $a$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\displaystyle \int_0^x \left \{ f'(t+a) \times f'(t-a) \right \} dt $$가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $g(x)$ 는 $x=\dfrac{1}{2}$ 와 $x=\dfrac{13}{2}$ 에서만 극값을 갖는다. $f(0)=-\dfrac{1}{2}$ 일 때, $a \times f(1)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $30$
실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(1)=1, \; \displaystyle \int_1^2 f(x) dx = \dfrac{5}{4}$ (나) 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, $x \ge 1$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(2x)=2f(x)$ 이다. $\displaystyle \int_1^8 xf'(x) dx = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $143$
함수 $f(x)=\sin (ax) \; (a \ne 0)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 $a$ 의 값의 합을 구하시오. (가) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{a}} f(x) dx \ge \dfrac{1}{2}$ (나) $0
좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$ 인 원 $C$ 와 두 점 ${\rm A}(2, \; 0)$ , ${\rm B}(0, \; -2)$ 가 있다. 원 $C$ 위에 있고 $x$ 좌표가 음수인 점 $\rm P$ 에 대하여 $\angle \rm PAB = \theta$ 라 하자. 점 ${\rm Q}(0, \; 2 \cos \theta)$ 에서 직선 $\rm BP$ 에 내린 수선의 발을 $\rm R$ 라 하고, 두 점 $\rm P$ 와 $\rm R$ 사이의 거리를 $f(\theta)$ 라 할 때, $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(\theta) d\theta$ 의 값은? ① $\dfrac{2\sqrt{3}-3}{2}$ ② $\sq..
최고차항의 계수가 $9$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (\pi \times f(x))}{x}=0$ (나) $f(x)$ 의 극댓값과 극솟값의 곱은 $5$ 이다. 함수 $g(x)$ 는 $0 \le x
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족한다. (가) $-1 \le x \le 1$ 에서 $f(x)
두 자연수 $a, b$ 에 대하여 이차함수 $f(x)=ax^2+b$ 가 있다. 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\ln f(x)-\dfrac{1}{10}\{f(x)-1\}$$ 이라 하자. 실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=|g(t)|$ 와 함수 $y=|g(x)|$ 의 그래프가 만나는 점의 개수를 $h(t)$ 라 하자. 두 함수 $g(x), h(t)$ 가 다음 조건을 만족한다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=0$ 에서 극솟값을 갖는다. (나) 함수 $h(t)$ 가 $t=k$ 에서 불연속인 $k$ 의 값의 개수는 $7$ 이다. $\displaystyle \int_0^ae^xf(x) dx=me^a-19$ 일 때, 자연수 $m$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $586$
실수 $a$ 에 대하여 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 를 $$f(x)=3x+a, \; \; g(x)=\displaystyle \int_2^x (t+a)f(t)dt$$ 라 하자. 함수 $h(x)=f(x)g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $h(-1)$ 의 최솟값은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) (가) 곡선 $y=h(x)$ 위의 어떤 점에서의 접선이 $x$ 축이다. (나) 곡선 $y=|h(x)|$ 가 $x$ 축에 평행한 직선과 만나는 서로 다른 점의 개수의 최댓값은 $4$ 이다. 더보기 정답 $251$