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목록(9차) 미적분 II 문제풀이/미분 (157)
수악중독
\(-1 \leq a < b \leq 1\) 일 때, 등식 \(\dfrac{\frac{b}{e^b}-\frac{a}{e^a}}{b-a}=k\) 를 만족하는 \(k\) 의 값이 될 수 있는 정수 \(k\) 의 값은 모두 몇 개인지 구하시오. (단, \(e\) 는 자연로그의 밑이다.) 정답 \(5\)
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\) 와 이계도함수를 갖는 함수 \(g(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 등식 \[g''(x)=|\sin x|f(x)\] 를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 점 \((0, \;g(0))\) 이 곡선 \(y=g(x)\) 의 변곡점이면 \(f(0)=0\) 이다. ㄴ. 점 \((0,\; g(0))\) 이 곡선 \(y=g(x)\) 의 변곡점이면 함수 \(g''(x)\) 는 \(x=0\) 에서 미분가능하다. ㄷ. 함수 \(g''(x)\) 가 \(x=0\) 에서 미분가능하면 점 \((0,\; g(0))\) 은 곡선 \(y=g(x)\) 의 변곡점이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{x - \sqrt x }&{\left( {x \ge 0} \right)}\\ {x - \sqrt { - x} }&{\left( {x < 0} \right)} \end{array}} \right.\) 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프는 \(x\) 축과 서로 다른 두 점에서 만난다. ㄴ. 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프의 \(x=1\) 인 점에서의 접선의 기울기는 \(1\) 이다. ㄷ. \(f'(0)\) 의 값이 존재한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄷ 정답 ①
함수 \(f(x)=(\ln x)^n +nx \; (x>0)\) 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 \(n\) 의 값의 합을 구하시오. (가) \(f(x)\) 는 극값을 갖는다. (나) 곡선 \(y=f(x)\) 의 변곡점의 \(x\) 좌표가 \(e^{10}\) 보다 작다. 정답 \(30\)
함수 \(f(x)=x+\sin x\)에 대하여 함수 \(g(x)\) 를 \(g(x)= (f \circ f)(x)\) 로 정의할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프는 열린 구간 \((0,\; \pi)\) 에서 위로 볼록하다. ㄴ. 구간 \((-\infty, \; \infty)\) 에서 함수 \(g(x)\) 는 증가한다. ㄷ. 자연수 \(n\) 에 대하여 \(g'(x)=1\) 인 실수 \(x\) 가 열린 구간 \( \left ( (n-1)\pi, \; n\pi \right )\) 에 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
함수 \(f(x)=e^{\frac{1}{x}}\) 에 대한 설명 중 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(e\) 는 자연로그의 밑이다.) ㄱ. \(y=1\) 은 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프의 점근선의 방정식이다. ㄴ. 두 구간 \((-\infty, \;0),\;(0,\; \infty)\) 에서 함수 \(f(x)\) 는 감소한다. ㄷ. 두 구간 \( \left ( - \infty, \; -\dfrac{1}{2} \right ), \; ( 0, \; \infty )\) 에서 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프는 아래로 볼록하다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
그림과 같이 좌표평면에서 최고차항의 계수가 양수이고 원점을 지나는 삼차함수 \(y=f(x)\) 의 그래프가 있다. 곡선 \(y=f(x)\) 의 변곡점을 \({\rm A}(a, \; f(a) )\) 라 하고 원점을 지나는 직선 \(y=g(x)\) 가 점 \({\rm B}(b, \;f(b))\) 에서 곡선 \(y=f(x)\) 에 접할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(0
양수 \(a\) 에 대하여 함수 \(f(x)=ax^2+2\cos x\) 가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 \(a\) 의 범위는? ① \(0
다음은 함수의 증가, 감소를 이용하여 두 수 \(2004^{2005}\) 와 \(2005^{2004}\) 의 대소 관계를 알아보는 과정이다. (단, \(e\) 는 자연로그의 밑이다.) 함수 \(f(x)=x^{\frac{1}{x}} \;\;(x>0)\) 에 대하여 \(x>e\) 일 때, \(f'(x)\) [ (가) ] \(0\) 이므로 \(f(2004)\) [ (나) ] \(f(2005)\) 따라서 \(2004^{2005}\) [ (다) ] \(2005^{2004}\) 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 부등호를 순서대로 적은 것은? ① \(>,\; >, \;>\) ② \(>,\; \) ⑤ \(, \;
그림은 함수 \( f(x) = \left \{ {\begin{array}{cl}1 & {\left( {x \le 0} \right)} \\ {-x+1} & {\left( {x>0} \right ) }\end{array}} \right. \) 의 그래프이다. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=\int _{-1}^x e^t f(t) dt\] 라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(0)=1-\dfrac{1}{e}\) ㄴ. 함수 \(g(x)\) 는 극댓값 \(e- \dfrac{1}{e}\) 을 갖는다. ㄷ. 방정식 \(g(x)=0\) 의 실근의 개수는 \(2\) 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③