수악중독

함수 $$f(x)=\begin{cases} -x-\pi & (x\pi) \end{cases}$$ 가 있다. 실수 $t$ 에 대하여 부등식 $f(x) \le f(t)$ 를 만족시키는 실수 $x$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 예를 들어, $g(\pi) = -\pi$ 이다. 함수 $g(t)$ 가 $t=\alpha$ 에서 불연속일 때, $$\displaystyle \int_{-\pi}^\alpha g(t) dt = - \dfrac{7}{4} \pi^2 + p \pi + q$$ 이다. $100 \times | p+q |$ 의 값을 구하시오. (단, $p, ~q$ 는 유리수이다.) 정답 $350$

$0$ 이 아닌 세 정수 $l, \; m, \; n$ 이 $$ |~l~|+|~m~|+|~n~| \le 10$$을 만족시킨다. $0 \le x \le \dfrac{3}{2}\pi$ 에서 정의된 연속함수 $f(x)$ 가 $f(0)=0, \; f\left ( \dfrac{3}{2}\pi \right ) = 1$ 이고 $$f'(x) = \begin{cases} l \cos x & \left ( 0 < x < \dfrac{\pi}{2} \right ) \\ m \cos x & \left ( \dfrac{\pi}{2} < x < \pi \right ) \\ n \cos x & \left (\pi < x < \dfrac{3}{2} \pi \right ) \end{cases}$$를 만족시킬 때, $\displaysty..

$ab0)$ 에 대하여 부등식 $$g(x)-k \ge xf(x)$$ 를 만족시키는 양의 실수 $x$ 가 존재할 때, 이 $x$ 의 값 중 최솟값을 $h(k)$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 와 $h(k)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 극댓값 $\alpha$ 를 갖고 $h(\alpha)=2$ 이다.(나) $h(k)$ 의 값이 존재하는 $k$ 의 최댓값은 $8e^{-2}$ 이다. $100 \left (a^2 + b^2 \right )$ 의 값을 구하시오. $\left ( 단, \; \lim \limits_{x \to \infty} f(x)=0 \right )$ 정답 $125$

$n$ 이하의 자연수 $k$ 에 대하여 $x_k = \dfrac{k}{n}$ 라 하자. 함수 $f(x)=e^{2x}-e^x+ex$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $ {\rm A}_k(x_k, \; f(x_k))$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 ${\rm B}_k$ 라 하고, 점 ${\rm A}_k$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $ {\rm C}_k$ 라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{\{f(x_k)\}^4}{\overline{{\rm B}_k {\rm C}_k}}$ 의 값은? (단, $n$ 은 자연수이다.) ① $\dfrac{1}{4}e^4$ ② $\dfrac{1}{2}e^4$..

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, \; f(t))$ 에서의 접선의 $y$ 절편을 $g(t)$ 라 하자. 모든 실수 $t$ 에 대하여 $$\left ( 1+t^2 \right ) \{ g(t+1)-g(t) \}=2t$$ 이고, $\displaystyle \int_0^1 f(x)\; dx = -\dfrac{\ln 10}{4}, \;\; f(1) = 4+ \dfrac{\ln 17}{8}$ 일 때, $2\{f(4)+f(-4)\}- \displaystyle \int_{-4}^4 f(x)\; dx$ 의 값을 구하시오. 정답 $16$

양의 실수 전체의 집합에서 감소하고 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 양의 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)>0$ 이다.(나) 임의의 양의 실수 $t$ 에 대하여 세 점 $(0, \; 0)$, $(t, \; f(t))$, $(t+1, \; f(t+1))$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 $\dfrac{t+1}{t}$ 이다. (다) $\displaystyle \int_1^2 \dfrac{f(x)}{x}\; dx = 2$ $\displaystyle \int_{\frac{7}{2}}^{\frac{11}{2}} \dfrac{f(x)}{x} \; dx = \dfrac{q}{p}$ 라 할 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답..

$\dfrac{3}{5}

함수 $f(x)=e^x \left ( ax^3 + bx^2 \right )$ 과 양의 실수 $t$ 에 대하여 닫힌 구간 $[-t, \; t]$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최댓값을 $M(t)$, 최솟값을 $m(t)$ 라 할 때, 두 함수 $M(t), \; m(t)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 양의 실수 $t$ 에 대하여 $M(t)=f(t)$ 이다.(나) 양수 $k$ 에 대하여 닫힌 구간 $[k, \; k+2]$ 에 있는 임의의 실수 $t$ 에 대해서만 $m(t)=f(-t)$ 가 성립한다.(다) $\displaystyle \int_1^5 \left \{ e^t \times m(t) \right \} \; dt = \dfrac{7}{3}-8e$ $f(k+1) = \dfrac{q}{p} e^{k+..

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $f(x)$ 는 $x=0$ 에서 극댓값, $x=k$ 에서 극솟값을 갖는다. (단 $k$ 는 상수)(나) $1$ 보다 큰 모든 실수 $t$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^t \left | f'(x) \right | \; dx = f(t)+f(0)$ 이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\displaystyle \int_0^k f'(x) \; dx < 0$ㄴ. $0

정의역이 $\{x \; | \; 0 \le x \le 10\}$ 이고 다음 조건을 만족시키는 모든 연속함수 $f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^{10} f(x)\;dx$ 의 최댓값은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 서로소인 자연수이다.) (가) $f(0)=1$(나) $0 \le m \le 9$ 인 각각의 정수 $m$ 에 대하여 $$g(t)=f(m+t)-f(m)\;\; (0