(이과) 정적분으로 정의된 함수&정적분의 최댓값_난이도 상

정의역이 $\{x \; | \; 0 \le x \le 10\}$ 이고 다음 조건을 만족시키는 모든 연속함수 $f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^{10} f(x)\;dx$ 의 최댓값은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 서로소인 자연수이다.)

(가) $f(0)=1$

(나) $0 \le m \le 9$ 인 각각의 정수 $m$ 에 대하여 $$g(t)=f(m+t)-f(m)\;\; (0<t<1)$$ 라 할 때, $0<t<1$ 인 모든 실수 $t$ 에 대하여 $$g(t)=\sum \limits_{k=1}^n a_k t^k$$ 인 자연수 $n$ 과 실수 $a_1, \; a_2, \; \cdots, \; a_n$ 이 존재하고 $$g(t)g'(t)=4 \displaystyle \int_0^t \sqrt{g(t)g(x)} \; dx$$  이다.

(다) $x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle \int_a^x f(t) \; dt = 0$ 의 닫힌구간 $ [0, \; 10]$ 에서의 해가 무수히 많게 하는 실수 $a$ 가 닫힌구간 $[0, \; 10]$ 에서 적어도 하나 존재한다.

정답 $97$