수악중독

그림과 같이 $\overline{\rm A_1D_1}=3, \; \overline{\rm A_1B_1}=4$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 의 변 $\rm A_1B_1, \; B_1C_1, \; C_1D_1, \; D_1A_1$ 의 중점을 각각 $\rm M_1, \; N_1, \; P_1, \; Q_1$ 이라 하고, 이 점들을 연결하여 사각형 $\rm M_1N_1P_1Q_1$ 을 만든다.삼각형 $\rm A_1M_1Q_1, \; B_1N_1M_1, \; C_1P_1N_1, \; D_1Q_1P_1$ 에 각각 내접하는 원을 그리고, 각 삼각형의 내부와 내접하는 원의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.그림 $R_1$ 에서 사각형 $\rm M_1N_1P_1Q_1$ 에 내..

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형 $\rm A_1 B_1 C_1 D_1$ 이 있다. 네 변 $\rm A_1B_1, \; B_1C_1, \; C_1D_1, \; D_1A_1$ 을 각각 지름으로 하는 반원을 정사각형 $\rm A_1 B_1 C_1 D_1$ 의 외부에 그려 만들어진 $4$ 개의 호로 둘러싸인 모양의 도형을 $E_1$ 이라 하자. 네 변 $\rm D_1A_1, \; A_1B_1, \; B_1C_1, \; C_1D_1$ 의 중점 $\rm P_1, \; Q_1, \; R_1, \; S_1$ 을 꼭짓점으로 하는 정사각형에 도형 $E_1$ 을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형을 $F_1$ 이라 하자. 도형 $E_1$ 의 내부와 도형 $F_1$ 의 외부의 공통부분에 색칠하여 ..

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 와 점 $\rm A$ 를 지나고 직선 $\rm BC$ 와 평행한 직선 $l$ 이 있다. 자연수 $n$ 에 대하여 중심 ${\rm O}_n$ 이 변 $\rm AC$ 위에 있고 반지름의 길이가 $\sqrt{3} \left (\dfrac{1}{2} \right ) ^{n-1}$ 인 원이 직선 $\rm AB$ 와 직선 $l$ 에 모두 접한다. 이 원과 직선 $\rm AB$ 가 접하는 점을 ${\rm P}_n$ , 직선 ${\rm O}_n{\rm P}_n$ 과 직선 $l$ 이 만나는 점을 ${\rm Q}_n$ 이라 하자. 삼각형 ${\rm BO}_n{\rm Q}_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \inf..

자연수 $n$ 에 대하여 집합 $S_n=\{x \;| \; x$ 는 $3n$ 이하의 자연수 $\}$ 의 부분집합 중에서 원소의 개수가 두 개이고, 이 두 원소의 차가 $2n$ 보다 큰 원소로만 이루어진 모든 집합의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^3} \sum \limits_{k=1}^{n}a_k$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{7}$ ② $\dfrac{1}{6}$ ③ $\dfrac{1}{5}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{3}$ 정답 ②

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정사각형에 내접하는 원 $O_1$ 이 있다. 정사각형과 원 $O_1$ 의 접점을 각각 $\rm A_1, \; B_1, \; C_1, \; D_1$ 이라 할 때, 원 $O_1$ 과 두 선분 $\rm A_1B_1, \; B_1C_1$ 으로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.그림 $R_1$ 에서 두 선분 $\rm A_1B_1, \; B_1C_1$ 을 각각 $3:1$ 로 내분하는 두 점을 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 원 $O_1$ 의 내부에 그린다. 이 정사각형에 내접하는 원을 $O_2$ 라 하고 그 접점을 각각 $\rm A_2, \; B_2, \; C_2, \; D_2$ 라 할 때, 원 $O_2$ 와 두 선분 $\rm A_2B_..

자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $ y=x^2 - \left (4 + \dfrac{1}{n} \right ) x + \dfrac{4}{n}$ 와 직선 $y=\dfrac{1}{n}x+1$ 이 만나는 두 점을 각각 ${\rm P}_n, \; {\rm Q}_n$ 이라 하자. 삼각형 ${\rm OP}_n{\rm Q}_n$ 의 무게중심의 $y$ 좌표를 $a_n$ 이라 할 때, $ 30 \lim \limits_{n \to \infty} a_n$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 정답 $20$

수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 집합 $$A=\{x\; | \; x^2-1

한 변의 길이가 $4$ 인 정사각형이 있다. 그림과 같이 지름이 $2$ 인 두 원이 서로 한 점 $\rm P_1$ 에서 만나고 정사각형의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 $\rm Q_1$ 이라 하고, 선분 $\rm P_1Q_1$ 을 대각선으로 하는 정사각형 $R_1$ 을 그린다. 이때, $R_1$ 의 한 변의 길이를 $l_1$ 이라 하자.지름이 $\dfrac{l_1}{2}$ 인 두 원이 서로 한 점 $ \rm P_2$ 에서 만나고 정사각형 $R_1$ 의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형 $R_1$ 의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 $Q_2$ 라 하고, 선분 $\rm P_2Q_2$ 를 대각선으로 하는 정사각형 $R_2$ 를 그린다. 이때..

자연수 $n$ 에 대하여 좌표가 $(0, \; 3n+1)$ 인 점을 ${\rm P}_n$, 함수 $f(x)=x^2\;(x \ge 0)$ 이라 하자. 점 ${\rm P}_n$ 을 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 곡선 $ y=f(x)$ 와 만나는 점을 ${\rm, Q}_n$ 이라 할 때, 다음 두 물음에 답하시오.(1) 점 ${\rm Q}_n$ 의 $y$ 좌표를 $a_n$ 이라 할 때, $ f^{-1}(a_2) \cdot f ^{-1} (a_9)$ 의 값은? ① $\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$ ② $7$ ③ $ 7\sqrt{2}$ ④ $7\sqrt{3}$ ⑤ $14$ (2) 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 ${\rm R}_n$ 은 직선 ${\rm P}_n{\rm R}_n$ 의 기울기가 음수이고 $y..