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목록(9차) 기하와 벡터 문제 풀이 (323)
수악중독
오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(6\) 인 정육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에서 \(\overline {\rm PQ}\) 가 \(\overline {\rm AC}\) 와 \(\overline {\rm DF}\) 에 동시에 수직이 되도록 \(\overline {\rm AC}\) 위에 점 \(\rm P\) 를, 대각선 \(\rm DF\) 위에 점 \(\rm Q\) 를 잡을 때, \(\overline {\rm PQ}\) 의 길이는? ① \(\sqrt{2}\) ② \(\sqrt{3}\) ③ \(2\) ④ \(\sqrt{5}\) ⑤ \(\sqrt{6}\) 정답 ⑤
오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 \(5\)인 정삼각형 \(\rm OAB\)에서 변 \(\rm OB\) 위에 \(\overline{\rm OD} = 4\)인 점 \(\rm D\)를 잡는다. 꼭짓점 \(\rm O\)에서 선분 \(\rm AD\) 위에 내린 수선의 발을 \(\rm H\)라 할 때, \({\overrightarrow{\rm OH}}=l{\overrightarrow{\rm OA}}+m{\overrightarrow{\rm OB}}\)가 성립한다. 두 상수 \( l, \; m\)에 대하여 \(l^2 +m^2 \)의 값은? ① \(\Large \frac{12}{49}\) ② \(\Large \frac{2}{7}\) ③ \(\Large \frac{16}{49}\) ④ \(\Large \frac{18}..
점 \({\rm A}(1,\;-1,\;2)\) 에서 직선 \(g\; :\) \(\dfrac{x+1}{2}\)\(=y-4=\)\(\dfrac{z-7}{-3}\)에 내린 수선의 발을 \({\rm H}(a,\;b,\;c)\)라 할 때, \(a^2 +b^2 +c^2 \)의 값을 구하시오. 정답 42
아래 그림과 같이 중심이 원점 \(\rm O\)이고, 반지름의 길이가 \(1\)이며, 세 점 \(\rm A,\;B,\;C\)를 지나는 반원 모양의 조형물이 \(xz\)평면 위에 놓여 있다. 점 \({\rm P}(0,\;-1,\;2)\)의 위치에 있는 광원에서 빛을 비추었을 때 이 조형물에 의해 \(xy\)평면에 생기는 그림자의 모양은 타원의 일부가 된다. 이 타원의 장축의 길이는? ① \(\Large \frac{4\sqrt{3}}{3}\) ② \(\Large \frac{5\sqrt{2}}{3}\) ③ \(2\sqrt{2}\) ④ \(2\sqrt{3}\) ⑤ \(\Large \frac{7\sqrt{2}}{3}\) 정답 ①
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 각각 \(4,\;1\) 인 두 구가 서로 외접하며 평평한 바닥 \(\alpha\) 의 \(\rm A,\;B\) 지점에 닿도록 놓여 있다. 또, 점 \(\rm A\) 를 지나며 직선 \(\rm AB\) 에 수직인 직선 \(l\) 이 평면 \(\alpha\) 위에 그어져 있다. 이때, 두 구의 맨 위 지점 \(\rm P,\;Q\) 를 지나고 직선 \(l\) 에 평행한 평면으로 두 구를 자를 때, 두 구의 단면의 넓이의 합은 \(\dfrac{k}{13}\pi\) 이다. 상수 \(k\) 의 값을 구하시오. 정답 153
오른쪽 그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=8,\; \overline{\rm AE}=6,\; \overline{\rm AD}=16\)인 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\)에서 변 \(\rm CD, \; GF\)를 \(3:5\)로 내분하는 점을 각각 \(\rm P,\;Q\)라 할 때, 평면 \(\rm ADGF\)와 평면 \(\rm APQ\)가 이루는 각의 크기를 \(\theta\)라 하자. 이 때, \(\cos \theta\)의 값은? ① \(\Large \frac{1}{3}\) ② \(\Large \frac{\sqrt{2}}{3}\) ③ \(\Large \frac{2}{3}\) ④ \(\Large \frac{2\sqrt{2}}{3}\) ⑤ \(\Large \frac{4}{3}\) 정답 ④
공간좌표 위의 점 \({\rm P}(a,\;b,\;c)\)에서 \(xy\)평면, 평면 \(\alpha \; : \; z=\sqrt{3} x\)에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm H_1 ,\;H_2\)라고 하자. 두 선분 \(\rm PH_1 ,\; PH_2 \)의 길이가 같을 때, 점 \(\rm P\)가 움직이는 도형의 넓이는 \(m+n\sqrt{3}\)이다. 이 때, \(\Large \frac{m}{n} \)의 값을 구하시오. (단, \(0\le a\le 1,\; 0 \le b \le 2)\) 정답 ③ 동영상의 설명이 부족하다는 건의사항이 있어서 대충 어떤 모습일지 그림을 그려서 보여드립니다. 대충 어떤 그림인지 그려지십니까? a, b의 범위를 생각하시면 아래와 같은 그림을 얻을 수 있구요, 나머지 하..
삼각형 \(\rm ABC\) 의 세 꼭짓점이 구 \(\rm C\) 위에 있다. 점 \(\rm A\) 를 지나면서 평면 \(\rm ABC\) 에 수직인 직선이 구 \(\rm C\) 와 만나는 점을 \(\rm D\) 라고 하자. \(\angle \rm BAC=90^o\) 이고 두 삼각형 \(\rm ABD,\; ACD\) 의 넓이가 같을 때, 사면체 \(\rm ABCD\) 의 부피의 최댓값은 \(\dfrac{p}{q}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, 구 \(\rm C\) 의 반지름의 길이는 \(\sqrt{3}\) 이고, \(p, \;q\) 는 서로소이다. 정답 7
점 \({\rm P}(1,\;0)\) 을 지나는 직선 \(l\) 이 포물선 \(y^2 =4x\) 와 만나는 두 점을 각각 \(\rm A,\;B\) 라 하고, \(\rm A,\;B\) 에서 직선 \(x=-1\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm C,\;D\) 라 하자. \(\overline {\rm AC}\;:\;\overline {\rm BD}=3\;:\;2\) 이고, 두 점 \(\rm A,\;B\) 의 \(x\) 좌표를 각각 \(\alpha,\;\beta\) 라 할 때, \(\sqrt{\alpha}-\sqrt{\beta}\) 의 값은? ① \(1\) ② \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ③ \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) ④ \(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) ⑤ \(\d..
\(\overline{\rm AD} \parallel \overline {\rm BC}\) 인 등변사다리꼴 \(\rm ABCD\) 에서 \(\overrightarrow{\rm AB}=(3,\;1) ,\;\; \overrightarrow{\rm AD} = (-2,\;2)\) 일 때, \(\overrightarrow{\rm BC}\) 는? ① \((-1,\;1)\) ② \((1,\;-1)\) ③ \((-3,\;3)\) ④ \((3,\;-3)\) ⑤ \((-4,\;4)\) 정답 ⑤