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목록(9차) 기하와 벡터 문제 풀이 (323)
수악중독
점 \({\rm A}(1,\;1,\;-1)\) 과 직선 \(\dfrac{x-2}{2}=-y-1=z-1\) 위의 두 점 \(\rm B,\;C\) 를 꼭짓점으로 하는 정삼각형 \(\rm ABC\) 의 넓이를 \(S\) 라 할 때, \(S^2\) 의 값을 구하시오. 정답 3
그림과 같이 반지름의 길이가 모두 \(\sqrt{3}\) 이고 높이가 서로 다른 세 원기둥이 서로 외접하며 한 평면 \(\alpha\) 위에 놓여 있다. 평면 \(\alpha\) 와 만나지 않는 세 원기둥의 밑면의 중심을 각각 \(\rm P,\;Q,\;R\) 라 할 때, 삼각형 \(\rm QPR\) 는 이등변삼각형이고, 평면 \(\rm QPR\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 각의 크기는 \(60^o\) 이다. 세 원기둥의 높이를 각각 \(8,\; a,\; b\) 라 할 때, \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(8
\(\overline {\rm OA} = \overline {\rm OB} = \overline {\rm OC} = \overline {\rm CA} = 7,\;\; \overline {\rm AB}=8,\;\; \overline {\rm BC}=5\) 인 사면체 \(\rm OABC\) 의 꼭짓점 \(\rm B\) 에서 삼각형 \(\rm OAC\) 에 내린 수선의 길이를 구하시오. \(\dfrac{40\sqrt{6}}{21}\)
좌표공간에서 집합 \(\left \{ (x,\;y,\;z) \;{\Large \vert}\; x^2 +(z-1)^2 \le 1,\;\; y=0,\;\; 0 \le z \le 1 \right \}\) 이 나타내는 도형을 \(C\) 라 하자. 점 \({\rm A}(0,\;-1,\;2)\) 와 도형 \(C\) 위의 점 \(\rm P\) 를 지나는 직선이 \(xy\) 평면과 만나는 점을 \(\rm Q\) 라 하면 점 \(\rm Q\) 가 나타내는 도형의 넓이는 \(\dfrac{b}{a}\) 이다. 이때, \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 11
점근선의 방정식이 \(y= \sqrt{2} x,\;y=-\sqrt{2} x\) 이고 \(x\) 축과 만나는 두 점 사이의 거리가 \(4\) 인 쌍곡선이 있다. 원점 \(\rm O\) 와 이 쌍곡선 위의 한 점 \(\rm P\) 를 잇는 선분 \(\rm OP\) 의 길이를 \(d\) 라 할 때, \(\overline {\rm PF'} \cdot \overline {\rm PF} \) 의 값을 \(d\) 를 이용하여 나타내면? (단, \(\rm F,\;F'\) 는 이 쌍곡선의 초점이다.) ① \(4d\) ② \(4+d^2\) ③ \(4+2d\) ④ \(2d\) ⑤ \(d^2\) 정답 ②
그림과 같이 직선 \(y=x-1\) 과 타원 \({\Large \frac{x^2}{m}} + {\Large \frac{y^2}{n}} = 1\) \( (m>n>0) \) 이 서로 다른 두 점 \(\rm M,\;N\) 에서 만난다. 원점 \(\rm O\) 와 선분 \(\rm MN\) 의 중점 \(\rm P\) 를 잇는 직선이 \(x\) 축과 이루는 양의 각이 \(150^o\) 일 때, \(\Large \frac{m}{n}\) 의 값은? ① \(\Large \frac{6}{5}\) ② \(\Large \frac{4}{3}\) ③ \(\sqrt{2}\) ④ \(\sqrt{3}\) ⑤ \(\Large \frac{3 \sqrt{3}}{2}\) 정답 ④
이차곡선 \(y^2 - ({\rm log} a) x^2 = 1-4a\) 가 두 초점이 모두 \(x\) 축 위에 있는 타원이 되기 위한 양수 \(a\) 의 값의 범위는 \({\dfrac{1}{m}}
중심이 원점 \(\rm O\) 이고 초점 \(\rm F_1 \) 과 \(\rm F_2 \) 가 \(x\) 축 위에 있는 타원이 있다. 점 \(\rm F_1\) 에서 이 타원 위의 점 \(\rm P\) 를 연결한 선분과 점 \(\rm P\) 에서의 접선이 이루는 각이 \( 30^o\) 이고 원점 \(\rm O\) 에서 접선까지의 거리가 \(3\) 일 때, 이 타원의 장축의 길이는? ① \(6\) ② \(6\sqrt{3}\) ③ \(12\) ④ \(12\sqrt{3}\) ⑤ \(18\) 정답 ③
오른쪽 그림과 같이 \(\overline {\rm AB} = \overline {\rm CD}=5,\;\; \overline {\rm AC} = \overline {\rm BD}=6,\;\; \overline {\rm AD} = \overline {\rm BC}=7\) 인 사면체 \(\rm DABC\) 가 있다. 이 사면체의 네 꼭짓점을 지나는 구의 겉넓이를 \(S\)라 할 때, \(\dfrac{S}{\pi}\) 의 값을 구하시오. 정답 55
그림과 같이 \(y\) 축에 평행한 직선이 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{4}-y^2 =1\) 과 만나는 두 점을 각각 \(\rm P,\;Q\) 라 하고 이 쌍곡선의 두 꼭짓점 \({\rm A} (-2,\;0)\) , \({\rm B}(2,\;0)\) 를 지나는 직선 \(\rm AP\) 와 \(\rm BQ\) 의 교점을 \(\rm R\) 라고 한다. 선분 \(\rm PQ\) 가 \(y\) 축에 평행하게 움직일 때, 점 \(\rm R\) 의 자취가 나타내는 도형에 대하여 점 \((3,\;2)\) 에서 이 도형에 그은 두 접선의 기울기를 각각 \(T_1 ,\; T_2 \) 라고 할 때, \(10(T_1 + T_2 )\) 의 값을 구하시오. 정답 24