수악중독

그림과 같이 곡선 $y=\dfrac{\sqrt{\ln(x+1)}}{x}  \; (x>0)$ 과 $x$ 축 및 두 직선 $x=1, \; x=3$ 으로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는?  ① $\dfrac{1}{3}\ln \dfrac{9}{8}$          ② $\dfrac{1}{3}\ln \dfrac{3}{2}$          ③ $\dfrac{1}{3}\ln \dfrac{9}{2}$          ④ $\dfrac{1}{3}\ln \dfrac{27}{4}$          ⑤ $\dfrac{1}{3}\ln \dfrac{27}{2}$ 더보기정답 ④

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$\displaystyle \int_0^x (x-t)f(t)dt=e^{2x}-2x+a$$ 를 만족시킨다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, \; f(a))$ 에서의 접선을 $l$ 이라 할 때, 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $l$ 및 $y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단, $a$ 는 상수이다.) ① $2-\dfrac{6}{e^2}$          ② $2-\dfrac{7}{e^2}$          ③  $2-\dfrac{8}{e^2}$          ④ $2-\dfrac{9}{e^2}$          ⑤ $2-\dfrac{10}{e^2}$ 더보기정답 ⑤

두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 $x$ 에 대한 방정식 $x^2+ax+b=0$ 의 두 근을 $\alpha, \; \beta$ 라 하자. $(\alpha-\beta)^2=\dfrac{34}{3}\pi$ 일 때, 함수 $f(x)=\sin \left (x^2+ax+b \right )$ 가 $x=c$ 에서 극값을 갖도록 하는 $c$ 의 값 중에서 열린구간 $(\alpha, \; \beta)$ 에 속하는 모든 값을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $c_1, \; c_2, \; \cdots, \; c_n$ ($n$ 은 자연수)라 하자. $(1-n) \times \sum \limits_{l=1}^n f(c_k)$ 의 값을 구하시오. (단, $\alpha 더보기정답 $15$

양수 $k$ 와 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\begin{cases} \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{|x-2|^{2n+1}+f(x)}{|x-2|^{2n}+k} & (|x-2| \ne 1) \\[10pt] \dfrac{|f(x+1)|}{k+1} & (|x-2|=1)\end{cases}$$ 이 실수 전체의 집합에서 연속이다. 닫힌구간 $[1, \; 3]$ 에서 함수 $f(g(x))$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, \; m$ 이라 할 때, $10(M+m)$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $30$

좌표평면에서 방향벡터가 $\overrightarrow{u}=(3, \; 1)$ 인 직선 $l$ 과 법선벡터가 $\overrightarrow{n}=(1, \; -2)$ 인 직선 $m$ 이 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\cos \theta$ 의 값은? ① $\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$          ② $\dfrac{2\sqrt{2}}{5}$          ③ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$          ④ $\dfrac{3\sqrt{2}}{5}$          ⑤ $\dfrac{7\sqrt{2}}{10}$ 더보기정답 ⑤

그림과 같이 한 모서리의 길이가 $3$ 인 정육면체 $\mathrm{ABCD-EFGH}$ 에서 선분 $\mathrm{EH}$ 를 $2:1$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{EF}$ 를 $1:2$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 할 때, 점 $\mathrm{A}$ 와 직선 $\mathrm{PQ}$ 사이의 거리는?  ① $\dfrac{7\sqrt{5}}{5}$          ② $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$          ③ $\dfrac{8\sqrt{5}}{5}$          ④ $\dfrac{17\sqrt{5}}{10}$          ⑤ $\dfrac{9\sqrt{5}}{5}$ 더보기정답 ①

포물선 $(y+2)^2=16(x-8)$ 의 초점에서 포물선 $y^2=-16x$ 에 그은 두 접선의 접점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 하자. 포물선 $y^2=-16x$ 의 초점을 $\mathrm{F}$ 라 할 때, $\overline{\mathrm{PF}}+\overline{\mathrm{QF}}$ 의 값은? ① $33$          ② $34$          ③ $35$          ④ $36$          ⑤ $37$ 더보기정답 ①

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=9$, $\overline{\mathrm{BC}}=8$, $\overline{\mathrm{CA}}=7$ 인 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 가 있다. 점 $\mathrm{C}$ 에서 선분 $\mathrm{AB}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P}$, 점 $\mathrm{B}$ 에서 선분 $\mathrm{AC}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 두 선분 $\mathrm{CP, \; BQ}$ 의 교점을 $\mathrm{R}$ 라 할 때, $4\overrightarrow{\mathrm{AR}} \cdot \left ( \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}..

그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(c, \; 0)$, $\mathrm{F'}(-c, \; 0)$ $(c>0)$ 을 초점으로 하는 타원 $\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{75}=1$ 과 두 점 $\mathrm{F, \; F'}$ 를 초점으로 하는 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 이 있다. 타원과 쌍곡선이 만나는 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{P}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{F'P}$ 가 쌍곡선과 만나는 점 중 $\mathrm{P}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, 점 $\mathrm{P}$ 의 $x$ 좌표는? (단, $a$ 와 ..

$\overline{\mathrm{AB}}=2$, $\overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{5}$ 인 직사각형 $\mathrm{ABCD}$ 를 밑면으로 하고 $\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{OD}}=2$ 인 사각뿔 $\mathrm{O-ABCD}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{OA}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$ 이라 하고, 점 $\mathrm{M}$ 에서 평면 $\mathrm{OBD}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. 선분 $\mathrm{BH}$ 의 길이를 $k$ 라 할 때, $90k^2$ 의 값을 구하시오.   더보기정답 $220$