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목록2022/06 (46)
수악중독
$1
자연수 $k \; (1
$1$ 보다 큰 두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 $$\log_{16} a = \dfrac{1}{\log_b 4}, \quad \log_6 ab =3$$ 이 성립할 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $42$
$a>2$ 인 실수 $a$ 에 대하여 그림과 같이 직선 $y=-x+5$ 가 세 곡선 $y=a^x$, $ y=\log_a x$, $y=\log_a (x-1)-1$ 과 만나는 점을 각각 $\rm A, \; B, \; C$ 라 하자. $\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=2:1$ 일 때, $4a^3$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $49$
$\angle \rm ABC = \dfrac{\pi}{3}$, $\overline{\rm BC}=6$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm BC$ 위에 점 $\rm B$ 와 점 $\rm C$ 가 아닌 점 $\rm D$를 잡고, 삼각형 $\rm ABD$ 의 외접원의 반지름의 길이를 $r_1$, 삼각형 $\rm ACD$ 의 외접원의 반지름의 길이를 $r_2$라 하자. $\dfrac{r_2}{r_1}=\dfrac{\sqrt{13}}{3}$ 일 때, 선분 $\rm AB$ 의 길이는 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $11$
자연수 $m \; (m\ge 2)$ 에 대하여 집합 $A_m$ 을 $$A_m = \{\log_m x \;|\; x\text{는 } 100 \text{ 이하의 자연수} \}$$ 라 하고, 집합 $B$ 를 $$B=\{ 2^k \;|\; k\text{는 }10 \text{ 이하의 자연수} \}$$ 라 하자. 집합 $B$ 의 원소 $b$ 에 대하여 $n(A_4 \cap A_b)=4$ 가 되도록 하는 모든 $b$ 의 값의 합을 구하시오. 더보기 정답 $72$
두 실수 $a, \; b$ 와 두 함수 $$f(x)= \sin x, \quad g(x)=a \cos x +b$$ 에 대하여 $0 \le x \le 2\pi$ 에서 정의된 함수 $$h(x)=\dfrac{|f(x)-g(x)|+f(x)+g(x)}{2}$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $h(x)$ 의 최솟값은 $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 이다. (나) $0
두 함수 $$f(x)=x^3-x+6, \quad g(x)=x^2+a$$ 가 있다. $x \ge 0$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $$f(x) \ge g(x)$$ 가 성립할 때, 실수 $a$ 의 최댓값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ⑤
그림과 같이 $\overline{\rm AB}=3$, $\overline{\rm BC}=2$, $\overline{\rm AC}>3$ 이고 $\cos (\angle \rm BAC)=\dfrac{7}{8}$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm AC$ 의 중점을 $\rm M$, 삼각형 $\rm ABC$ 의 외접원이 직선 $\rm BM$ 과 만나는 점 중 $\rm B$ 가 아닌 점을 $\rm D$ 라 할 때, 선분 $\rm MD$ 의 길이는? ① $\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$ ② $\dfrac{7\sqrt{10}}{10}$ ③ $\dfrac{4\sqrt{10}}{5}$ ④ $\dfrac{9\sqrt{10}}{10}$ ⑤ $\sqrt{10}$ 더보기 정답 ③