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목록2022/06 (46)
수악중독
$100$ 이하의 자연수 $n$ 에 대하여 $$(1-i)^{2n} = 2^n i$$ 를 만족시키는 모든 $n$ 의 개수를 구하시오. (단, $i=\sqrt{-1}$ 이다.) 더보기 정답 $25$
$x$ 에 대한 연립부등식 $$\begin{cases} x^2 - \left (a^2-3 \right ) x -3a^2 0 & \end{cases}$$을 만족시키는 정수 $x$ 가 존재하지 않기 위한 실수 $a$ 의 최댓값을 $M$ 이라 하자. $M^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a>2$) 더보기 정답 $10$
삼차다항식 $P(x)$ 와 일차다항식 $Q(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $P(x)Q(x)$ 는 $\left (x^2-3x+3 \right ) (x-1)$ 로 나누어 떨어진다. (나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $x^3-10x+13 - P(x)=\{Q(x)\}^2$ 이다. $Q(0)
두 이차함수 $f(x), \; g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge f(0)$, $g(x) \le g(0)$ 이다. (나) $f(0)$ 은 정수이고, $g(0)-f(0)=4$ 이다. $x$ 에 대한 방정식 $f(x)+p=k$ 의 서로 다른 실근의 개수와 $x$ 에 대한 방정식 $g(x)-p=k$ 의 서로 다른 실근의 개수가 같게 되도록 하는 정수 $k$ 의 개수가 $1$ 일 때, 실수 $p$ 의 최솟값을 $m$, 최댓값을 $M$ 이라 하자. $m+10M$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $31$
함수 $y=3^x$ 의 그래프 위의 $x$ 좌표가 양수인 점 $\rm A$ 와 함수 $y=\left (\dfrac{1}{3} \right )^x-6$ 의 그래프 위의 점 $\rm B$ 에 대하여 선분 $\rm AB$ 의 중점의 좌표가 $(0, \; 2)$ 일 때, 점 $\rm A$ 의 $y$ 좌표는? ① $4$ ② $\dfrac{9}{2}$ ③ $5$ ④ $\dfrac{11}{2}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ③
좌표평면 위의 원점 $\rm O$ 에서 $x$ 축의 양의 방향으로 시초선을 잡을 때, 원점 $\rm O$ 와 점 ${\rm P}(5, \; a)$ 를 지나는 동경 $\rm OP$ 가 나타내는 각의 크기를 $\theta$, 선분 $\rm OP$ 의 길이를 $r$ 라 하자. $\sin \theta + 2 \cos \theta =1$ 일 때, $a+r$ 의 값은? (단, $a$ 는 상수이다.) ① $\dfrac{5}{2}$ ② $3$ ③ $\dfrac{7}{2}$ ④ $4$ ⑤ $\dfrac{9}{2}$ 더보기 정답 ①
그림과 같이 반지름의 길이가 $2$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 호 $\rm AB$ 위에 점 $\rm C$ 를 $\overline{\rm AC}=1$ 이 되도록 잡는다. 선분 $\rm OC$ 위의 점 $\rm O$ 가 아닌 점 $\rm D$ 에 대하여 삼각형 $\rm BOD$ 의 넓이가 $\dfrac{7}{6}$ 일 때, 선분 $\rm OD$ 의 길이는? ① $\dfrac{5}{4}$ ② $\dfrac{31}{24}$ ③ $\dfrac{4}{3}$ ④ $\dfrac{11}{8}$ ⑤ $\dfrac{17}{12}$ 더보기 정답 ③
자연수 $n$ 에 대하여 $-\dfrac{\pi}{2n} < x
그림과 같이 중심이 $\rm O$, 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\theta$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 호 $\rm AB$ 의 삼등분점 중 점 $\rm A$ 에 가까운 점을 $\rm C$ 라 하고, 직선 $\rm OA$ 와 직선 $\rm BC$ 가 만나는 점을 $\rm D$ 라 하자. 다음은 두 선분 $\rm AD, \; CD$ 와 호 $\rm AC$ 로 둘러싸인 부분의 넓이 $S(\theta)$ 를 구하는 과정이다. (단, $0