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목록2021/11 (45)
수악중독
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$f(x)=\begin{cases} 2x+2 & (x
그림과 같이 $\overline{\rm AD}=4$ 인 등변사다리꼴 $\rm ABCD$ 에 대하여 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 원과 선분 $\rm CD$ 를 지름으로 하는 원이 오직 한 점에서 만난다. 사각형 $\rm ABCD$ 의 넓이와 둘레의 길이를 각각 $S, \; l$ 이라 하면 $S^2+8l=6720$ 이다. $\overline{\rm BD}^2$ 의 값을 구하시오. (단, $ \overline{\rm AD} < \overline{\rm BC} , \; \overline{\rm AB} = \overline{\rm CD}$) 더보기 정답 $164$
이차함수 $f(x)=a(x-1)^2 - 10$ ($a$ 는 양의 상수)와 실수 $k$ 에 대하여 $k-1 \le x \le k+1$ 에서 함수 $|f(x)|$ 의 최댓값을 $g(k)$ 라 할 때, 함수 $g(k)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. $g(k)=10$ 을 만족시키는 실수 $k$ 의 최댓값은 $\sqrt{10}$ 이다. 함수 $g(k)$ 가 $k=b$ 와 $k=c$ 에서 최솟값 $m$ 을 가질 때, $b^2+c^2+m^2$ 의 값을 구하시오. (단, $b, \; c$ 는 서로 다른 상수이다.) 더보기 정답 $74$
모든 항이 양수인 등비수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. $$a_1 = 3, \quad \dfrac{S_6}{S_5 - S_2} = \dfrac{a_2}{2}$$ 일 때, $a_4$ 의 값은? ① $6$ ② $9$ ③ $12$ ④ $15$ ⑤ $18$ 더보기 정답 ①
두 다항함수 $f(x), \; g(x)$ 가 $$\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)-a+2}{x-1}=4, \quad \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{g(x)+a-2}{x-1}=a$$ 를 만족시킨다. 함수 $f(x)g(x)$ 의 $x=1$ 에서의 미분계수가 $-1$ 일 때, 상수 $a$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ③
$\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$ 인 $\theta$ 에 대하여 $\sin ^4 \theta + \cos ^4 \theta=\dfrac{23}{32}$ 일 때, $\sin \theta - \cos \theta$ 의 값은? ① $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ ④ $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ 더보기 정답 ⑤
$2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $2^{n-3}-8$ 의 $n$ 제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=2}^m f(n)=15$ 가 되도록 하는 자연수 $m$ 의 값은? ① $12$ ② $14$ ③ $16$ ④ $18$ ⑤ $20$ 더보기 정답 ②
그림과 같이 실수 $t \; (0
다음은 수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \left ( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{n+1} \right )a_k=n^2$$ 을 만족시킬 때, $\sum \limits_{k=1}^n a_k$ 를 구하는 과정이다. $T_n = \sum \limits_{k=1}^n \left ( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{n+1} \right ) a_k$ 라 하자. $({\rm i}) \; T_1=1$ 이므로 $a_1 =\boxed{ \text{ (가) }}$ 이다. $( {\rm ii} ) \; 2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $T_n = n^2$ 에서 $T_n - T_{n-1}=2n-1$ 이고 $T_n = \sum \..
그림과 같이 $1$ 보다 큰 두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 직선 $y=a$ 가 두 곡선 $y=2^x, \; y=\left (\dfrac{1}{4} \right )^x$ 과 만나는 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하고, 직선 $y=\dfrac{1}{b}$ 이 두 곡선 $y=2^x, \; y=\left ( \dfrac{1}{4} \right )^x$ 과 만나는 점을 각각 $\rm C, \; D$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $a=b$ 이면 $\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}$ 이다. ㄴ. 직선 $\rm AC$ 의 기울기를 $m_1$, 직선 $\rm BD$ 의 기울기를 $m_2$ 라 하면 $2m_1 + m_2=0$ 이다. ㄷ. 직선 $\..