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목록2021/11 (45)
수악중독
두 상수 $a, \; b \; (1
수직선 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 시각 $t$ 에서의 위치 $x(t)$ 가 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 $$x(t)=t(t-1)(at+b) \quad (a \ne 0)$$ 이다. 점 $\rm P$ 의 시각 $t$ 에서의 속도 $v(t)$ 가 $\displaystyle \int_0^1 |v(t)| dt = 2$ 를 만족시킬 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\displaystyle \int_0^1 v(t)dt = 0$ ㄴ. $|x(t_1)|>1$ 인 $t_1$ 이 열린구간 $(0, \; 1)$ 에 존재한다. ㄷ. $0 \le t \le 1$ 인 모든 $t$ 에 대하여 $|x(t)|
두 점 $\rm O_1, \; O_2$ 를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\overline{\rm O_1O_2}$ 인 두 원 $C_1, \; C_2$ 가 있다. 그림과 같이 원 $C_1$ 위의 서로 다른 세 점 $\rm A, \; B, \; C$ 와 원 $C_2$ 위의 점 $\rm D$ 가 주어져 있고, 세 점 $\rm A, \; O_1, \; O_2$ 와 세 점 $\rm C, \; O_2, \; D$ 가 각각 한 직선 위에 있다. 이때 $\rm \angle BO_1A = \theta_1 , \; \angle O_2O_1C=\theta_2, \; \angle O_1O_2D=\theta_3$ 이라 하자. 다음은 $\overline{\rm AB} : \overline{\rm O_1D} = 1:2\sq..
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 닫힌구간 $ [0, \; 1]$ 에서 $f(x)=x$ 이다. (나) 어떤 상수 $a, \; b$ 에 대하여 구간 $[0, \; \infty)$ 에서 $f(x+1)-xf(x)=ax+b$ 이다. $60 \times \displaystyle \int_1^2 f(x) dx$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $110$
수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $| a_1 | = 2$ (나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $|a_{n+1}|=2|a_n|$ 이다. (다) $\sum \limits_{n=1}^{10} a_n= -14$ $a_1+a_3 + a_5 + a_7 + a_9$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $678$
최고차항의 계수가 $\dfrac{1}{2}$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 실수 $t$ 에 대하여 방정식 $f'(x)=0$ 이 닫힌구간 $[t, \; t+2]$ 에서 갖는 실근의 개수를 $g(t)$ 라 할 때, 함수 $g(t)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $a$ 에 대하여 $\lim \limits_{t \to a+} g(t) + \lim \limits_{t \to a-} g(t) \le 2$ 이다. (나) $g(f(1))=g(f(4))=2, \; g(f(0))=1$ $f(5)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $9$
두 집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}, \; Y=\{1, \; 2, \; 3, \; 4\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $X$ 에서 $Y$ 로의 함수 $f$ 의 개수는? (가) 집합 $X$ 의 모든 원소 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge \sqrt{x}$ 이다. (나) 함수 $f$ 의 치역의 원소의 개수는 $3$ 이다. ① $128$ ② $138$ ③ $148$ ④ $158$ ⑤ $168$ 더보기 정답 ①
두 연속확률변수 $X$ 와 $Y$ 가 갖는 값의 범위는 $0 \le X \le 6, \; 0 \le Y \le 6$ 이고, $X$ 와 $Y$ 의 확률밀도함수는 각각 $f(x) , \; g(x)$ 이다. 확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f(x)$ 의 그래프는 그림과 같다. $0 \le x \le 6$ 인 모든 $x$ 에 대하여 $$f(x)+g(x)=k \quad (k \text{는 상수})$$ 를 만족시킬 때, ${\rm P} (6k \le Y \le 15k)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $31$
흰 공과 검은 공이 각각 $10$ 개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $5$ 이상이면 바구니에 있는 흰 공 $2$ 개를 주머니에 넣고, 나온 눈의 수가 $4$ 이하이면 바구니에 있는 검은 공 $1$ 개를 주머니에 넣는다. 위의 시행을 $5$ 번 반복할 때, $n \; (1 \le n \le 5)$ 번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 $a_n, \; b_n$ 이라 하자. $a_5 + b_5 \ge 7$ 일 때, $a_k=b_k$ 인 자연수 $k \; (1 \le k \le 5)$ 가 존재할 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$..