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목록2021/11 (45)
수악중독
수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1$ 은 $1$ 이 아닌 양수이다. (나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{2n-1}+a_{2n}=1$ 이고 $a_{2n} \times a_{2n+1}=1$ 이다. $\sum \limits_{n=1}^{14} \left (|a_n|-a_n \right )=10$ 이 되도록 하는 모든 $a_1$ 의 값의 합은? ① $\dfrac{10}{3}$ ② $4$ ③ $\dfrac{14}{3}$ ④ $\dfrac{16}{3}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ③
$0 \le x < 2\pi$ 에서 $x$ 에 대한 부등식 $$(2a+6)\cos x - a \sin ^2 x +a+12
공차가 $2$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 과 자연수 $m$ 이 $$\sum \limits_{k=1}^m a_{k+1}=240, \quad \sum \limits_{k=1}^m (a_k+m)=360$$ 을 만족시킬 때, $a_m$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $29$
삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=3$ (나) $1$ 이 아닌 상수 $\alpha$ 에 대하여 $\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{(x-2)f'(x)}=\alpha$ 이다. $\alpha \times f(4)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $18$
삼각형 $\rm ABC$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\cos A=-\dfrac{1}{4}$ (나) $\sin B + \sin C = \dfrac{9}{8}$ 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이가 $\sqrt{15}$ 일 때, 삼각형 $\rm ABC$ 의 외접원의 넓이는 $\dfrac{q}{p}\pi$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $71$
두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $f(x)=x^2 -2ax + b$ 라 할 때, 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)= \begin{cases} f(x+a) & (x \le a) \\ |f(x)| & (x>a) \end{cases} $$ 라 하자. 실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=t$ 와 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 $h(t)$ 라 할 때, 함수 $h(t)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. $k \ge 24$ 인 임의의 실수 $k$ 에 대해서만 함수 $\{h(t)-2\}h(t-k)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이다. $10a+b$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $44$
직선 $y=2x+k$ 가 두 함수 $$y=\left ( \dfrac{2}{3} \right )^{x+3}, \quad y=\left ( \dfrac{2}{3} \right )^{x+1}+\dfrac{8}{3}$$ 의 그래프와 만나는 점을 각각 $\rm P, \; Q$ 라 하자. $\overline{\rm PQ}=\sqrt{5}$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? ① $\dfrac{35}{6}$ ② $\dfrac{17}{3}$ ③ $\dfrac{11}{2}$ ④ $\dfrac{16}{3}$ ⑤ $\dfrac{31}{6}$ 더보기 정답 ②
삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(0, \; 0)$ 에서의 접선과 곡선 $y=xf(x)$ 위의 점 $(1, \; 2)$ 에서의 접선이 일치할 때, $f'(2)$ 의 값은? ① $-18$ ② $-17$ ③ $-16$ ④ $-15$ ⑤ $-14$ 더보기 정답 ⑤
양수 $a$ 에 대하여 집합 $\left \{ x \left | -\dfrac{a}{2} < x \le a, \; x \ne \dfrac{a}{2} \right . \right \}$ 에서 정의된 함수 $$f(x)=\tan \dfrac{\pi x}{a}$$ 가 있다. 그림과 같이 함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위의 세 점 $\rm O, \; A, \; B$ 를 지나는 직선이 있다. 점 $\rm A$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 함수 $ y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm C$ 라 하자. 삼각형 $\rm ABC$ 가 정삼각형일 때, 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이는? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ ②..
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$\{f(x)\}^3 - \{f(x)\}^2 -x^2f(x)+x^2=0$$ 을 만족시킨다. 함수 $f(x)$ 의 최댓값이 $1$ 이고 최솟값이 $0$ 일 때, $f \left (- \dfrac{4}{3} \right ) + f(0) + f \left (\dfrac{1}{2} \right )$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기 정답 ③