수악중독

다음은 수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \left ( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{n+1} \right )a_k=n^2$$ 을 만족시킬 때, $\sum \limits_{k=1}^n a_k$ 를 구하는 과정이다. $T_n = \sum \limits_{k=1}^n \left ( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{n+1} \right ) a_k$ 라 하자. $({\rm i}) \; T_1=1$ 이므로 $a_1 =\boxed{ \text{ (가) }}$ 이다. $( {\rm ii} ) \; 2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $T_n = n^2$ 에서 $T_n - T_{n-1}=2n-1$ 이고 $T_n = \sum \..

그림과 같이 $1$ 보다 큰 두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 직선 $y=a$ 가 두 곡선 $y=2^x, \; y=\left (\dfrac{1}{4} \right )^x$ 과 만나는 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하고, 직선 $y=\dfrac{1}{b}$ 이 두 곡선 $y=2^x, \; y=\left ( \dfrac{1}{4} \right )^x$ 과 만나는 점을 각각 $\rm C, \; D$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $a=b$ 이면 $\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}$ 이다. ㄴ. 직선 $\rm AC$ 의 기울기를 $m_1$, 직선 $\rm BD$ 의 기울기를 $m_2$ 라 하면 $2m_1 + m_2=0$ 이다. ㄷ. 직선 $\..

수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1$ 은 $1$ 이 아닌 양수이다. (나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{2n-1}+a_{2n}=1$ 이고 $a_{2n} \times a_{2n+1}=1$ 이다. $\sum \limits_{n=1}^{14} \left (|a_n|-a_n \right )=10$ 이 되도록 하는 모든 $a_1$ 의 값의 합은? ① $\dfrac{10}{3}$ ② $4$ ③ $\dfrac{14}{3}$ ④ $\dfrac{16}{3}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ③

$0 \le x < 2\pi$ 에서 $x$ 에 대한 부등식 $$(2a+6)\cos x - a \sin ^2 x +a+12

공차가 $2$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 과 자연수 $m$ 이 $$\sum \limits_{k=1}^m a_{k+1}=240, \quad \sum \limits_{k=1}^m (a_k+m)=360$$ 을 만족시킬 때, $a_m$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $29$

삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=3$ (나) $1$ 이 아닌 상수 $\alpha$ 에 대하여 $\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{(x-2)f'(x)}=\alpha$ 이다. $\alpha \times f(4)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $18$

삼각형 $\rm ABC$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\cos A=-\dfrac{1}{4}$ (나) $\sin B + \sin C = \dfrac{9}{8}$ 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이가 $\sqrt{15}$ 일 때, 삼각형 $\rm ABC$ 의 외접원의 넓이는 $\dfrac{q}{p}\pi$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $71$

두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $f(x)=x^2 -2ax + b$ 라 할 때, 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)= \begin{cases} f(x+a) & (x \le a) \\ |f(x)| & (x>a) \end{cases} $$ 라 하자. 실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=t$ 와 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 $h(t)$ 라 할 때, 함수 $h(t)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. $k \ge 24$ 인 임의의 실수 $k$ 에 대해서만 함수 $\{h(t)-2\}h(t-k)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이다. $10a+b$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $44$