수학1_수열의 극한_무한등비급수와 도형_난이도 중

그림과 같이 원점 $\rm O$ 와 점 $2,\; 0)$ 을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $\rm C_1$ 이라 하자. 또, 원 $\rm C_1$ 과 직선 $y=x$ 가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $\rm C_2$, 원 $\rm C_2$ 와 $y$ 축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $\rm C_3$ 이라 하자. 또 원, $\rm C_3$ 과 직선 $y=-x$ 가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $\rm C_4$, 원 $\rm C_4$ 와 $x$ 축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $\rm C_5$ 라 하자.

 

이와 같은 방법으로 중심이 차례로 직선 $y=x$ , $y$ 축, 직선 $y=-x$, $x$ 축, $\cdots$ 위에 있는 원 $\rm C_6 , \;C_7 , \; C_8 , \; C_9 , \; \cdots$ 를 한없이 만들어 갈 때, 원 $C_n$ 의 내부와 원 $C_{n+1}$ 의 외부의 공통부분(어두운 부분)의 넓이를 $S_n$ $(n=1,\;2,\;3,\; \cdots)$ 이라 하자. 이때, $\sum \limits _{n=1}^{\infty} S_n$ 의 값은?

① $\pi +1$                     ② ${\dfrac{3}{2}} \pi$                    ③ ${\dfrac{5}{4}}(\pi +1)$
④ ${\dfrac{3}{2}} (\pi +1)$               ⑤ $2\pi$

정답 ①