미분가능성&극대와 극소_난이도 상 (2026년 5월 고3 21번)

 

 

최고차항의 계수가 $1$이고 $f(0)=0$인 삼차함수 $f(x)$가 있다. 양수 $p$와 실수 $k(k\ne0)$에 대하여 함수 $$g(x)=\begin{cases}f(x)&(x<p)\\ kf(x-p)&(x\ge p)\end{cases}$$가 다음 조건을 만족시킨다. 

 

(가) 함수 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
(나) $x$에 대한 방정식 $g(x)=0$의 서로 다른 모든 실근의 합이 $2p$이다.

함수 $g(x)$의 극값 중 가장 큰 값이 $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$일 때, $f(4)$의 값을 구하시오.

 

정답 $55$