수학1_행렬_행렬진위_행렬의 곱셈에서 교환법칙이 성립하는 경우_난이도 중

두 이차정사각행렬 \(A,\;B\) 에 대하여 \(AB=BA\) 가 성립하기 위한 충분조건인 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? (단, \(E\) 는 단위행렬이다.)

          ㄱ. \(A+B=2E\)          ㄴ. \(A^2 B = BA^2 \)          ㄷ. \(A^2 B=A+E\)

① ㄱ          ② ㄱ, ㄴ          ③ ㄱ, ㄷ          ④ ㄴ, ㄷ           ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ③



ㄴ번 설명이 부족한 것 같아서 반례를 올려드립니다.

행렬의 곱셈에서 교환법칙이 성립하는 5가지 경우

① 둘 중 하나 이상이 O 행렬인 경우  ex) AO=OA=O
② 둘 중 하나 이상이 단위 행렬인 경우 ex) AE=EA=A
③ 둘의 관계가 역행렬 관계인 경우
    더 나아가 둘의 곱이 단위 행렬의 실수배로 표현되는 경우
    ex) AB=BA=E, AB=BA=kE (k는 실수)
④ 행렬의 거듭제곱 ex) A²A³=A³A²
⑤ 한 행렬이 다른 행렬의 다항식 꼴로 표현될 때
    ex) B=A²+2A-3E 이면 AB=BA (직접 해 보세요)
    더 나아가 한 행렬이 다른 행렬의 일차식 꼴로 표현될 때
    ex) 케일리-헤밀턴 정리를 이용하면 위 예제에서 A²을 일차식으로 다운시킬 수 있다.