역함수와 정적분 & 치환적분_난이도 중상 (2024년 9월 평가원 미적분 28번)

 

 

함수 $f(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속인 이계도함수를 갖고, 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f'(2x)\sin \pi x +x$$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 는 역함수 $g^{-1}(x)$ 를 갖고, $$\displaystyle \int_0^1 g^{-1}(x)dx = 2 \int_0^1 f'(2x)\sin \pi x dx +\dfrac{1}{4}$$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \int_0^2 f(x) \cos \dfrac{\pi}{2} x dx$ 의 값은?

 

① $-\dfrac{1}{\pi}$          ② $-\dfrac{1}{2\pi}$          ③ $-\dfrac{1}{3\pi}$          ④ $-\dfrac{1}{4\pi}$          ⑤ $-\dfrac{1}{5\pi}$

 

정답 ③