쌍곡선의 정의&쌍곡선의 방정식_난이도 상 (2024년 7월 전국연합 고3 기하 28번)

 

 

두 양수 $a, \; c$ 에 대하여 두 점 $\mathrm{F}(c, \; 0)$, $\mathrm{F'}(-c, \; 0)$ 을 초점으로 하는 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{3}=1$ 이 있다. 두 직선 $\mathrm{PF, \; PF'}$ 이 서로 수직이 되도록 하는 이 쌍곡선 위의 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{P}$, $\overline{\mathrm{PQ}}=\dfrac{a}{3}$ 인 선분 $\mathrm{PF'}$ 위의 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 직선 $\mathrm{QF}$ 와 $y$ 축이 만나는 점을 $\mathrm{A}$ 라 할 때, 점 $\mathrm{A}$ 에서 두 직선 $\mathrm{PF, \; PF'}$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{R, \; S}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{AR}}=\overline{\mathrm{AS}}$ 일 때, $a^2$ 의 값은?

 

① $\dfrac{18}{5}$          ② $4$          ③ $\dfrac{22}{5}$          ④ $\dfrac{24}{5}$          ⑤ $\dfrac{26}{5}$

 

 

 

정답 ④