축에 접하는 원의 방정식 & 이차함수와 이차방정식_난이도 상 (2023년 9월 전국연합 고1 30번)

 

 

이차함수 $y=f(x)$ 가 있다. 중심이 함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위에 있고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 중에서 다음 조건을 만족시키는 중심이 서로 다른 원의 개수는 $5$ 이다.

 

원을 $x$ 축의 방향으로 $m$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $m$ 만큼 평행이동한 원이 $x$ 축과 $y$ 축에 동시에 접하도록 하는 실수 $m$ 의 값이 $1$ 개 이상 존재한다.

 

이 $5$ 개의 원의 중심의 $x$ 좌표를 작은 수부터 크기 순서대로 $x_1, \; x_2, \; x_3, \; x_4, \; x_5$ 라 하자. $$x_1=0, \quad x_2+x_3+x_4+x_5=20$$ 이고 $x_1 \le x \le x_5$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최솟값이 $0$ 보다 클 때, $f(20)$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $82$