이면각의 크기&정사영의 넓이_난이도 중상 (2022년 사관학교 기하 29번)

좌표공간에 점 $(4, \; 3, \; 2)$ 를 중심으로 하고 원점을 지나는 구 $S:(x-4)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=29$ 가 있다. 구 $S$ 위의 점 ${\rm P}(a, \; b, \; 7)$ 에 대하여 직선 $\rm OP$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 구 $S$ 와 만나서 생기는 원을 $C$ 라 하자. 평면 $\alpha$ 와 원 $C$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 직선 $\rm OP$ 와 $xy$ 평면이 이루는 각의 크기와 평면 $\alpha$ 와 $xy$ 평면이 이루는 각의 크기는 같다.

(나) 선분 $\rm OP$ 는 원 $C$ 의 지름이다

 

$a^2+b^2<25$ 일 때, 원 $C$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영의 넓이는 $k\pi$ 이다. $8k^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.)

 

 

정답 $261$