점과 평면 사이의 거리&정사영의 넓이_난이도 상 (2022년 9월 평가원 고3 기하 29번)

좌표공간에 두 개의 구 $$S_1 : x^2+y^2 +(z-2)^2=4, \quad S_2 : x^2 +y^2+(z+7)^2=49$$ 가 있다. 점 ${\rm A} \left ( \sqrt{5}, \; 0, \; 0 \right )$ 을 지나고 $zx$ 평면에 수직이며, 구 $S_1$ 과 $z$ 좌표가 양수인 한 점에서 접하는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 구 $S_2$ 가 평면 $\alpha$ 와 만나서 생기는 원을 $C$ 라 할 때, 원 $C$ 위의 점 중 $z$ 좌표가 최소인 점을 $\rm B$ 라 하고 구 $S_2$ 와 점 $\rm B$ 에서 접하는 평면을 $\beta$ 라 하자.

원 $C$ 의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이가 $\dfrac{q}{p}\pi$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $127$