근과 계수와의 관계&곱셈공식_난이도 상 (2022년 9월 전국연합 고1 29번)

두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 이차방정식 $x^2+ax+b=0$ 의 서로 다른 두 근은 $\alpha, \; \beta$ 이고, 이차방정식 $x^2+3ax+3b=0$ 의 서로 다른 두 근은 $\alpha+2, \; \beta+2$ 이다. 다음 조건을 만족시키는 자연수 $n$ 의 최솟값을 구하시오.

 

(가) $\alpha^n + \beta^n >0$

(나) $\alpha^n + \beta^n = \alpha^{n+1}+\beta^{n+1}$

 

정답 $6$