역함수의 정적분&부분적분&치환적분_난이도 상 (2021년 11월 수능 미적분 30번)

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 

 

(가) $f(1)=1, \; \displaystyle \int_1^2 f(x) dx = \dfrac{5}{4}$

(나) 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, $x \ge 1$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(2x)=2f(x)$ 이다.

 

$\displaystyle \int_1^8 xf'(x) dx = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $143$