삼각함수의 극한&극대와 극소&정적분의 성질_난이도 상 (2021년 9월 평가원 고3 미적분 30번)

최고차항의 계수가 $9$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 

 

(가) $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (\pi \times f(x))}{x}=0$

(나) $f(x)$ 의 극댓값과 극솟값의 곱은 $5$ 이다.

 

함수 $g(x)$ 는 $0 \le x <1$ 일 때 $g(x)=f(x)$ 이고 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x+1)=g(x)$ 이다.

$g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $\displaystyle \int_0^5 xg(x)dx = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $115$