함수의 그래프와 미분&부분적분_난이도 상 (2021년 7월 전국연합 고3 미적분 30번)

두 자연수 $a,  b$ 에 대하여 이차함수 $f(x)=ax^2+b$ 가 있다. 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\ln f(x)-\dfrac{1}{10}\{f(x)-1\}$$ 이라 하자. 실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=|g(t)|$ 와 함수 $y=|g(x)|$ 의 그래프가 만나는 점의 개수를 $h(t)$ 라 하자. 두 함수 $g(x), h(t)$ 가 다음 조건을 만족한다.

 

(가) 함수 $g(x)$ 는 $x=0$ 에서 극솟값을 갖는다.

(나) 함수 $h(t)$ 가 $t=k$ 에서 불연속인 $k$ 의 값의 개수는 $7$ 이다.

 

$\displaystyle \int_0^ae^xf(x) dx=me^a-19$ 일 때, 자연수 $m$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $586$