삼각함수의 극한 활용_난이도 중 (2021년 4월 전국연합 고3 미적분 27번)

그림과 같이 곡선 $y=x \sin x$ 위의 점 ${\rm P}(t, \; t\sin t)\;\;(0<t<\pi)$ 를 중심으로 하고 $y$ 축에 접하는 원이 선분 $\rm OP$ 와 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하자. 점 $\rm Q$ 의 $x$ 좌표를 $f(t)$ 라 할 때, $\lim \limits_{t \to 0+} \dfrac{f(t)}{t^3}$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.)

① $\dfrac{1}{4}$          ② $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$          ③ $\dfrac{1}{2}$          ④ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$          ⑤ $1$

 

정답 ③