함수의 그래프와 미분_난이도 상 (2020년 사관학교 가형 30번)

두 함수 $f(x)=x^2-ax+b \; (a>0), \; g(x) = x^2 e^{-\frac{x}{2}} $ 에 대하여 상수 $k$ 와 함수 $h(x)=(f \circ g)(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $h(0) < h(4)$

(나) 방정식 $|h(x)|=k$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $7$ 이고, 그 중 가장 큰 실근을 $\alpha$ 라 할 때 함수 $h(x)$ 는 $x=\alpha$ 에서 극소이다.

 

$f(1)=-\dfrac{7}{32}$ 일 때, 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 $a+16b$ 의 값을 구하시오.

(단, $\dfrac{5}{2} < e <3 $ 이고, $\lim \limits_{x \to \infty} g(x)=0$ 이다.)

 

정답 $6$