극대극소와 미분&여러 가지 미분법_난이도 중상 (2021년 6월 평가원 고3 미적분 29번)

$t>2e$ 인 실수 $t$ 에 대하여 함수 $f(x)= t (\ln x)^2 - x^2$ 이 $x=k$ 에서 극대일 때, 실수 $k$ 의 값을 $g(t)$ 라 하면 $g(t)$ 는 미분가능한 함수이다. $g(\alpha)=e^2$ 인 실수 $\alpha$ 에 대하여 $\alpha \times \{ g'(\alpha)\}^2=\dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $17$