미분가능한 함수의 특성을 이용하여 함수 추론하기_난이도 상 (2019년 7월 교육청 고3 가형 30번)

$x=a$ $(a>0)$ 에서 극댓값을 갖는 사차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 $$g(x)=\begin{cases} \dfrac{1-\cos \pi x}{f(x)} & (f(x) \ne 0) \\[10pt] \dfrac{7}{128}\pi^2 & (f(x)=0) \end{cases}$$ 일 때, 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $g'(0) \times g'(2a) \ne 0$

(나) 함수 $g(x)$ 는 $x=a$ 에서 극값을 갖는다.

$g(1)=\dfrac{2}{7}$ 일 때, $g(-1) = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $95$