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수악중독

접선의 방정식_곡선 밖의 한 점이 주어지는 경우_난이도 상 (2019년 10월 교육청 고3 가형 21번) 본문

(9차) 미적분 II 문제풀이/미분

접선의 방정식_곡선 밖의 한 점이 주어지는 경우_난이도 상 (2019년 10월 교육청 고3 가형 21번)

수악중독 2019. 10. 22. 00:09

정수 $n$ 에 대하여 점 $(a, \; 0)$ 에서 곡선 $y=(x-n)e^x$ 에 그은 접선의 개수를 $f(n)$ 이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

 

ㄱ. $a=0$ 일 때, $f(4)=1$ 이다.

ㄴ. $f(n)=1$ 인 정수 $n$ 의 개수가 $1$ 인 정수 $a$ 가 존재한다.

ㄷ. $\sum \limits_{n=1}^5 f(n) = 5$ 를 만족시키는 정수 $a$ 의 값은 $-1$ 또는 $3$ 이다.

 

①ㄱ          ② ㄱ, ㄴ          ③ ㄱ, ㄷ          ④ ㄴ, ㄷ          ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

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정답 ③

$(a, 0)$ 에서 그은 접선이 곡선 $y=(x-n)e^x$ 와 서로 다른 두 점에서 접하는 경우 접선의 개수는 $1$ 개가 될 수 있지만, 이 문제에서는 그런 경우가 존재하지 않습니다.

점근선 위의 어떤 점에서 접선을 그리더라도 곡선 위의 서로 다른 두 점에서 동시에 접하지는 않습니다.

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개인적인 의견을 말하자면 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선이 서로 다른 두 점에서 곡선과 접한다고 하더라도 접선의 개수는 두 개로 보는 것이 맞지 않을까 생각합니다.

접선의 정의는 할선의 극한입니다. 즉, 곡선 위의 두 점 A, B 에 대하여 점 A 는 고정시키고 점 B 를 점 A 에 한없이 가까이 근접시킬 때, 할선이 어떤 하나의 직선에 가까워진다면 그 직선을 점 A 에서 곡선에 접하는 접선이라고 합니다. 따라서 접선을 정의하려면 곡선 위의 한 점이 필요합니다. 따라서 곡선 밖의 한 점에서 곡선에 접선을 그었을 때, 하나의 직선이 곡선 위의 서로 다른 두 점에서 접한다고 하더라도, 두 접점이 서로 다르기 때문에 접선의 개수는 두 개라고 보는 것이 맞을 것 같습니다. 다만 서로 다른 접선의 개수를 묻는다면 한 개라고 대답해야 할 것 같습니다.

(마치 중근이 근의 개수는 두 개이지만, 근의 종류는 한 개인것 처럼요) 

 

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