함수의 연속&유리함수의 그래프&대칭이동_난이도 상 (2018년 4월 교육청 나형 30번)

두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 정의역이 $\{x \; | \;x \ge 0\}$ 인 함수 $f(x)=\dfrac{-ax-b+1}{ax+b}\;\; (ab>0)$ 이 있다. 실수 $k$ 에 대하여 정의역이 $\{ x \; | \; x \ge 0\}$ 인 함수 $g(x) =  \begin{cases} 2k-f(x) & (f(x)<k) \\ f(x) & (f(x) \ge k) \end{cases}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\lim \limits_{x \to \infty} |g(x)|=\dfrac{1}{2}$

(나) $|g(0)|=1$

(다) 함수 $y=|g(x)|$ 의 그래프와 직선 $y=-k$ 는 두 점 $\left ( \dfrac{1}{28}, \; -k \right ), \;\; (\alpha, \; -k)$ 에서 만난다.  (단, $\alpha > \dfrac{1}{28}$)

직선 $y=m(x-4\alpha)+\dfrac{3}{4}$ 이 함수 $y=|g(x)|$ 의 그래프와 만나는 서로 다른 점의 개수를 $h(m)$ 이라 할 때, 함수 $h(m)$ 이 불연속이 되는 모든 실수 $m$ 의 값의 합은 $M$ 이다. $252M$ 의 값을 구하시오. 

정답 $19$