미적분1_정적분의 성질&수열의 합_난이도 상 (2017년 11월 수능 나형 30번)

이차함수 $f(x)=\dfrac{3x-x^2}{2}$ 에 대하여 구간 $[0, \; \infty)$ 에서 정의된 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족한다.

(가) $0 \le x<1$ 일 때, $g(x)=f(x)$ 이다.
(나) $n \le x < n+1$ 일 때, $$g(x)=\dfrac{1}{2^n} \{f(x-n)-(x-n)\} +x$$ 이다. (단, $n$ 은 자연수이다.)

어떤 자연수 $k\; (k\ge6)$ 에 대하여 함수 $h(x)$ 는 $$ h(x)= \left \{ \begin{array}{ll} g(x) & (0 \le x < 5\; 또는\; x \ge k) \\ 2x-g(x) & (5 \le x <k) \end{array} \right .$$ 이다. 수열 $\{a_n\}$ 을 $a_n=\displaystyle \int_0^n h(x)\; dx$ 라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \left ( 2a_n - n^2 \right ) = \dfrac{241}{768}$ 이다. $k$ 의 값을 구하시오. 

$정답 9$