삼차함수 그래프의 특징_난이도 상 (2017년 6월 평가원 나형 30번)

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 최고차항의 계수가 $2$ 인 이차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(\alpha) = g(\alpha)$ 이고 $f'(\alpha)=g'(\alpha)=-16$ 인 실수 $\alpha$ 가 존재한다.

(나) $f'(\beta) = g'(\beta)=16$ 인 실수 $\beta$ 가 존재한다.

$g(\beta+1) - f(\beta+1)$ 의 값을 구하시오.

정답 $243$