부등식의 영역&자연수 거듭제곱의 합_난이도 중

자연수 $n$ 에 대하여 두 명제 $p, \; q$ 가 다음과 같다.

$p$ : 모든 실수 $x$ 에 대하여 $x^2-2nx+n^2+4n-a-b \ge 0$  이다.

$q$ : 어떤 실수 $x$ 에 대하여 $x^2 - (a+b)x+n^2 \le 0$ 이다.

두 명제 $p, \; q$ 가 모두 참이 되도록 하는 음의 아닌 두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 좌표평면에서 점 ${\rm P}(a, \; b)$ 가 나타내는 영역의 넓이를 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{k=1}^{10} \dfrac{a_k}{11}$ 의 값을 구하시오. 

정답 $210$