함수의 연속_난이도 상 (2017년 4월 교육청 나형 29번)

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=4, \;\; \overline{\rm BC}=3$,  $\angle{\rm B}=90^{\rm o}$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 의 변 $\rm AB$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$ 인 원 $O$ 가 있다. $\overline{\rm AP}=x\;\; (0<x<4)$ 라 할 때, 원 $O$ 가 삼각형 $\rm ABC$ 와 만나는 서로 다른 점의 개수를 $f(x)$ 라 하자. 함수 $f(x)$ 가 $x=a$ 에서 불연속이 되는 모든 실수 $a$ 의 값의 합은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $19$