부분집합의 개수_난이도 상

전체집합 $U=\{1, \;2, \;3, \;4, \;5, \;6, \;7\}$ 의 두 부분집합 $$A=\{1, \;2, \;3\}, \;\; B=\{2, \;3, \;4, \;5\}$$ 에 대하여 집합 $P$ 를 $$P=(A \cup B) \cap (A \cap B)^C$$ 이라 하자. $P \subset X \subset U$ 를 만족시키는 집합 $X$ 의 개수를 구하시오.

정답 $16$

$$\begin{aligned} P &= (A \cup B) \cap (A \cap B)^C \\ &=(A \cup B) - (A \cap B) \\&=\{1, \;4, \;5\} \end{aligned}$$

따라서 $X$는 $U$ 의 부분집합 중 $P=\{1, \;4, \;5\}$ 를 반드시 포함하는 부분집합이 된다.

이것은 집합 $\{2, \;3, \;6, \;7\}$ 의 부분집합을 구하여 각각에 원소 $1, \;4, \;5$ 를 포함시켜 주면 되는 것이므로 정답은 $\{2, \;3, \;6, \;7\}$ 의 부분집합의 개수와 같다.

$\therefore 2^4=16$ (개)